初中数学切线长定理解答题

如图， $\mathit{PA}$、 $\mathit{PB}$是 $\odot O$的切线， $A$、 $B$是切点， $\mathit{AC}$是 $\odot O$的直径，连接 $\mathit{OP}$，交 $\odot O$于点 $D$，交 $\mathit{AB}$于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{BC}//\mathit{OP}$；

（2）若 $E$恰好是 $\mathit{OD}$的中点，且四边形 $\mathit{OAPB}$的面积是 $16\sqrt{3}$，求阴影部分的面积；

（3）若 $\sin \angle \mathit{BAC}=\frac{1}{3}$，且 $\mathit{AD}=2\sqrt{3}$，求切线 $\mathit{PA}$的长．

如图， $\odot O$的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为 $A_n(n$为 $1~12$的整数），过点 $A_7$作 $\odot O$的切线交 $A_1{A}_{11}$延长线于点 $P$．

（1）通过计算比较直径和劣弧 $\stackrel{̂}{A_7{A}_{11}}$长度哪个更长；

（2）连接 $A_7{A}_{11}$，则 $A_7{A}_{11}$和 $P{A}_1$有什么特殊位置关系？请简要说明理由；

（3）求切线长 $P{A}_7$的值．

结果如此巧合 $!$

下面是小颖对一道题目的解答．

题目：如图， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$的内切圆与斜边 $\mathit{AB}$相切于点 $D$， $\mathit{AD}=3$， $\mathit{BD}=4$，求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积．

解：设 $\mathit{\Delta ABC}$的内切圆分别与 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$相切于点 $E$、 $F$， $\mathit{CE}$的长为 $x$．

根据切线长定理，得 $\mathit{AE}=\mathit{AD}=3$， $\mathit{BF}=\mathit{BD}=4$， $\mathit{CF}=\mathit{CE}=x$．

根据勾股定理，得 ${(x+3)}^2+{(x+4)}^2={(3+4)}^2$．

整理，得 $x^2+7x=12$．

所以 $S_{\mathit{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}\mathit{AC}·\mathit{BC}$

$=\frac{1}{2}(x+3)(x+4)$

$=\frac{1}{2}(x^2+7x+12)$

$=\frac{1}{2}\times (12+12)$

$=12$．

小颖发现12恰好就是 $3\times 4$，即 $\mathit{\Delta ABC}$的面积等于 $\mathit{AD}$与 $\mathit{BD}$的积．这仅仅是巧合吗？

请你帮她完成下面的探索．

已知： $\mathit{\Delta ABC}$的内切圆与 $\mathit{AB}$相切于点 $D$， $\mathit{AD}=m$， $\mathit{BD}=n$．

可以一般化吗？

（1）若 $\angle C=90°$，求证： $\mathit{\Delta ABC}$的面积等于 $\mathit{mn}$．

倒过来思考呢？

（2）若 $\mathit{AC}·\mathit{BC}=2\mathit{mn}$，求证 $\angle C=90°$．

改变一下条件 $\dots \dots$

（3）若 $\angle C=60°$，用 $m$、 $n$表示 $\mathit{\Delta ABC}$的面积．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，对角线相交于点 $O$， $\odot M$为 $\mathit{\Delta BCD}$的内切圆，切点分别为 $N$， $P$， $Q$， $\mathit{DN}=4$， $\mathit{BN}=6$．

（1）求 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$；

（2）点 $H$从点 $A$出发，沿线段 $\mathit{AD}$向点 $D$以每秒3个单位长度的速度运动，当点 $H$运动到点 $D$时停止，过点 $H$作 $\mathit{HI}//\mathit{BD}$交 $\mathit{AC}$于点 $I$，设运动时间为 $t$秒．

①将 $\mathit{\Delta AHI}$沿 $\mathit{AC}$翻折得△ $\mathit{AH}\text{'}I$，是否存在时刻 $t$，使点 $H\text{'}$恰好落在边 $\mathit{BC}$上？若存在，求 $t$的值；若不存在，请说明理由；

②若点 $F$为线段 $\mathit{CD}$上的动点，当 $\mathit{\Delta OFH}$为正三角形时，求 $t$的值．

如图1所示，已知：点A（﹣2，﹣1）在双曲线 $\text{C:}y=\frac{a}{x}$上，直线l₁：y＝﹣x+2，直线l₂与l₁关于原点成中心对称，F₁（2，2），F₂（﹣2，﹣2）两点间的连线与曲线C在第一象限内的交点为B，P是曲线C上第一象限内异于B的一动点，过P作x轴平行线分别交l₁，l₂于M，N两点．

（1）求双曲线C及直线l₂的解析式；

（2）求证： $P{F}_2﹣P{F}_1＝\mathit{MN}＝4$；

（3）如图2所示，△PF₁F₂的内切圆与F₁F₂，PF₁，PF₂三边分别相切于点Q，R，S，求证：点Q与点B重合．（参考公式：在平面坐标系中，若有点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A、B两点间的距离公式为 $\mathit{AB}=\sqrt{{\left(x_1-x_2\right)}^2+{\left(y_1-y_2\right)}^2}$.

如图，顶点为的抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．

（1）求这条抛物线对应的函数表达式；

（2）问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点，满足，过作轴于点，设的内心为，试求的最小值．