已知:如图,菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AC=12cm,BD=16cm.点P从点B出发,沿BA方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,直线EF从点D出发,沿DB方向匀速运动,速度为1cm/s,EF⊥BD,且与AD,BD,CD分别交于点E,Q,F;当直线EF停止运动时,点P也停止运动.连接PF,设运动时间为t(s)(0<t<8).解答下列问题:
(1)当t为何值时,四边形APFD是平行四边形?
(2)设四边形APFE的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;
(3)是否存在某一时刻t,使S四边形APFE:S菱形ABCD=17:40?若存在,求出t的值,并求出此时P,E两点间的距离;若不存在,请说明理由.
如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E是对角线AC上任意一点,F是线段BC延长线上一点,且CF=AE,连接BE、EF.
(1)如图1,当E是线段AC的中点,且AB=2时,求△ABC的面积;
(2)如图2,当点E不是线段AC的中点时,求证:BE=EF;
(3)如图3,当点E是线段AC延长线上的任意一点时,(2)中的结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
如图,正方形ABCD的边长为3a,两动点E、F分别从顶点B、C同时开始以相同速度沿BC、CD运动,与△BCF相应的△EGH在运动过程中始终保持△EGH ≌△BCF,B、E、C、G在一直线上,△DHE的面积的最小值是 .
如图,是由相同的花盆按一定的规律组成的形如正多边形的图案,其中第1个图形一共有6个花盆,第2个图形一共有12个花盆,第3个图形一共有20个花盆,则第8个图形中花盆的个数为( )
A.56 | B.64 | C.72 | D.90 |
如图,四边形ABCD中,∠A=90°,AB=,BC=8,CD=6,AD=5.
(1)求BD;
(2)试判断A、B、C、D四点是否在同一个圆上.如果在同一个圆上,写出圆心和半径,如果不在同一个圆上,说明理由.
在正方形ABCD中,点M是射线BC上一点,点N是CD的延长线上一点,且BM=DN,直线BD与MN相交于点E.
(1)如图1,当点M在线段BC上时,求证:BD-2DE=BM;
(2)如图2,当点M在BC的延长线上时,BD、DE、BM之间满足的关系式是____;
(3)在⑵的条件下,连接BN交AD于F,连接MF交BD于G,若DE=,且AF:FD=1:2,求线段DG的长.
(本题共7分)如果一个点与另外两个点能构成直角三角形,则称这个点为另外两个点的勾股点.例如:矩形ABCD中,点C与A、B两点可构成直角三角形ABC,则称点C为A、B两点的勾股点,同样,点D也是A、B两点的勾股点.
(1)如图1,矩形ABCD中,AB =2,BC =1,请在边CD上作出A、B两点的勾股点(点C和点D除外).(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不要求写作法)
(2)如图2,矩形ABCD中,若AB =3,BC =1,点P在边CD上(点C和点D除外),且点P为A、B两点的勾股点,求DP的长.
(本小题满分9分)如图1,已知B点坐标是(6,6),BA⊥x轴于A,BC⊥y轴于C,D在线段OA上,E在y轴的正半轴上,DE⊥BD,M是DE中点,且M在OB上.
(1)点M的坐标是( , ),DE= ;
(2)小明在研究动点问题时发现,如果有两点分别在两条互相垂直的直线上做匀速运动,连接这两点所得线段的中点将在同一条直线上运动,利用这一事实解答下列问题,如图2,如果一动点F从点B出发以每秒1个单位长度的速度向点A运动,同时有一点G从点D出发以每秒个单位长度的速度向点O运动,点H从点E开始沿y轴正方向自由滑动,并始终保持GH=DE,P为FG的中点,Q为GH的中点,F与G两个点分别运动到各自终点时停止运动,分别求出在运动过程中点P、Q运动的路线长.
(3)连接PQ,求当运动多少秒时,PQ最小,最小值是多少?
有一张一个角为30°,最小边长为4的直角三角形纸片,沿图中所示的中位线剪开后,将两部分拼成一个四边形,所得四边形的周长是 .
(本题14分)已知,在△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=45°,点D为直线BC上一动点(点D不与点B,C重合).以AD为边做正方形ADEF,连接CF.
(1)如图1当点D在线段BC上时.求证:CF+CD=BC;
(2)如图2,当点D在线段BC的延长线上时,其他条件不变,请直接写出CF,BC,CD三条线段之间的关系;
(3)如图3,当点D在线段BC的反向延长线上时,且点A,F分别在直线BC的两侧,其他条件不变;
①请直接写出CF,BC,CD三条线段之间的关系;
②若正方形ADEF的边长为2,对角线AE,DF相交于点O,连接OC,求OC的长度.
如图,已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,AB=8,CD=10.
(1)求梯形ABCD的面积;
(2)动点P从点B出发,以2个单位/s的速度沿B→A→D→C方向向点C运动;动点Q从点C出发,以2个单位/s的速度沿C→D→A方向向点A运动;过点Q作QF⊥BC于点F.若P、Q两点同时出发,当其中一点到达终点时另一点也随之停止运动,设运动时间为t秒.问:
①当点P在B→A上运动时,是否存在这样的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分?若存在,请求出t的值,并判断此时PQ是否平分梯形ABCD的面积;若不存在,请说明理由.
②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.
(本题12分)如图,正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上,点B坐标(3,3),将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α(0°<α<90°),得到正方形ADEF,ED交线段OC于点G,ED的延长线交线段BC于点P,连AP、AG.
(1)求证:△AOG≌△ADG;
(2)求∠PAG的度数,并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系,并说明理由;
(3)当∠1=∠2时,求直线PE的解析式.
(1)探究:如图1和2,四边形ABCD中,已知AB=AD,∠BAD=90°,点E、F分别在BC、CD上,∠EAF=45°.
①如图1,若∠B、∠ADC都是直角,把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,使AB与AD重合,则能证得EF=BE+DF,请写出推理过程;
②如图2,若∠B、∠D都不是直角,则当∠B与∠D满足数量关系 时,仍有EF=BE+DF;
(2)拓展:如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°.若BD=1,求DE的长.