初中数学三角形综合题试题

【问题情景】

利用三角形的面积相等来求解的方法是一种常见的等积法，此方法是我们解决几何问题的途径之一．

例如：张老师给小聪提出这样一个问题：

如图1，在△ ABC中， AB＝3， BC＝6，问△ ABC的高 AD与 CE的比是多少？

小聪的计算思路是：

根据题意得： S _{△ ABC}＝ $\frac{1}{2}$ BC• AD＝ $\frac{1}{2}$ AB• CE．

从而得2 AD＝ CE，∴ $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{CE}}$ ＝ $\frac{1}{2}$

请运用上述材料中所积累的经验和方法解决下列问题：

（1）【类比探究】

如图2，在▱ ABCD中，点 E、 F分别在 AD， CD上，且 AF＝ CE，并相交于点 O，连接 BE、 BF，

求证： BO平分角 AOC．

（2）【探究延伸】

如图3，已知直线 m∥ n，点 A、 C是直线 m上两点，点 B、 D是直线 n上两点，点 P是线段 CD中点，且∠ APB＝90°，两平行线 m、 n间的距离为4．求证： PA• PB＝2 AB．

（3）【迁移应用】

如图4， E为 AB边上一点， ED⊥ AD， CE⊥ CB，垂足分别为 D， C，∠ DAB＝∠ B， AB＝ $\sqrt{34}$ ， BC＝2， AC＝ $\sqrt{26}$ ，又已知 M、 N分别为 AE、 BE的中点，连接 DM、 CN．求△ DEM与△ CEN的周长之和．

已知 $D$ 是 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 斜边 $\mathit{AB}$ 的中点， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\angle \mathit{ABC}=30°$ ，过点 $D$ 作 $\text{Rt}\Delta \text{DEF}$ 使 $\angle \mathit{DEF}=90°$ ， $\angle \mathit{DFE}=30°$ ，连接 $\mathit{CE}$ 并延长 $\mathit{CE}$ 到 $P$ ，使 $\mathit{EP}=\mathit{CE}$ ，连接 $\mathit{BE}$ ， $\mathit{FP}$ ， $\mathit{BP}$ ，设 $\mathit{BC}$ 与 $\mathit{DE}$ 交于 $M$ ， $\mathit{PB}$ 与 $\mathit{EF}$ 交于 $N$ ．

（1）如图1，当 $D$ ， $B$ ， $F$ 共线时，求证：

① $\mathit{EB}=\mathit{EP}$ ；

② $\angle \mathit{EFP}=30°$ ；

（2）如图2，当 $D$ ， $B$ ， $F$ 不共线时，连接 $\mathit{BF}$ ，求证： $\angle \mathit{BFD}+\angle \mathit{EFP}=30°$ ．

在等腰三角形中，，作交于点，交于点．

（1）在图1中，求证：；

（2）在图2中的线段上取一动点，过作交于点，作交于点，求证：；

（3）在图3中动点在线段的延长线上，类似（2）过作交的延长线于点，作交的延长线于点，求证：．

如图，在中，，，，平分交于点，过点作交于点，点是线段上的动点，连结并延长分别交，于点、．

（1）求的长．

（2）若点是线段的中点，求的值．

（3）请问当的长满足什么条件时，在线段上恰好只有一点，使得？

如图1和图2，在中，，，．点在边上，点，分别在，上，且．点从点出发沿折线匀速移动，到达点时停止；而点在边上随移动，且始终保持．

（1）当点在上时，求点与点的最短距离；

（2）若点在上，且将的面积分成上下两部分时，求的长；

（3）设点移动的路程为，当及时，分别求点到直线的距离（用含的式子表示）；

（4）在点处设计并安装一扫描器，按定角扫描区域（含边界），扫描器随点从到再到共用时36秒．若，请直接写出点被扫描到的总时长．