初中数学勾股定理试题

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle C=90°$，点 $M$从点 $C$出发沿 $\mathit{CB}$方向以 $1\mathit{cm}/s$的速度匀速运动，到达点 $B$停止运动，在点 $M$的运动过程中，过点 $M$作直线 $\mathit{MN}$交 $\mathit{AC}$于点 $N$，且保持 $\angle \mathit{NMC}=45°$，再过点 $N$作 $\mathit{AC}$的垂线交 $\mathit{AB}$于点 $F$，连接 $\mathit{MF}$．将 $\mathit{\Delta MNF}$关于直线 $\mathit{NF}$对称后得到 $\mathit{\Delta ENF}$，已知 $\mathit{AC}=8\mathit{cm}$， $\mathit{BC}=4\mathit{cm}$，设点 $M$运动时间为 $t\left(s\right)$， $\mathit{\Delta ENF}$与 $\mathit{\Delta ANF}$重叠部分的面积为 $y\left(c{m}^2\right)$．

（1）在点 $M$的运动过程中，能否使得四边形 $\mathit{MNEF}$为正方形？如果能，求出相应的 $t$值；如果不能，说明理由；

（2）求 $y$关于 $t$的函数解析式及相应 $t$的取值范围；

（3）当 $y$取最大值时，求 $\sin \angle \mathit{NEF}$的值．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的弦，半径 $\mathit{OC}\perp \mathit{AB}$于点 $D$，且 $\mathit{AB}=8\mathit{cm}$， $\mathit{DC}=2\mathit{cm}$，则 $\mathit{OC}=$　　 $\mathit{cm}$．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，弦 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$于点 $E$．若 $\mathit{AB}=8$， $\mathit{AE}=1$，则弦 $\mathit{CD}$的长是 $($　　 $)$

A． $\sqrt{7}$B． $2\sqrt{7}$C．6D．8

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，弦 $\mathit{CD}$交 $\mathit{AB}$于点 $P$， $\mathit{AP}=2$， $\mathit{BP}=6$， $\angle \mathit{APC}=30°$，则 $\mathit{CD}$的长为 $($　　 $)$

A． $\sqrt{15}$B． $2\sqrt{5}$C． $2\sqrt{15}$D．8

对角线长分别为6和8的菱形 $\mathit{ABCD}$如图所示，点 $O$为对角线的交点，过点 $O$折叠菱形，使 $B$， $B\text{'}$两点重合， $\mathit{MN}$是折痕．若 $B^{\text{'}}M=1$，则 $\mathit{CN}$的长为 $($　　 $)$

A．7B．6C．5D．4

如图， $\mathit{BD}$为 $\mathit{\Delta ABC}$外接圆 $\odot O$的直径，且 $\angle \mathit{BAE}=\angle C$．

（1）求证： $\mathit{AE}$与 $\odot O$相切于点 $A$；

（2）若 $\mathit{AE}//\mathit{BC}$， $\mathit{BC}=2\sqrt{7}$， $\mathit{AC}=2\sqrt{2}$，求 $\mathit{AD}$的长．

如图，菱形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$， $\mathit{AC}=10$， $\mathit{BD}=24$，则菱形 $\mathit{ABCD}$的周长为 $($　　 $)$

A．52B．48C．40D．20

如图，将面积为 $32\sqrt{2}$的矩形 $\mathit{ABCD}$沿对角线 $\mathit{BD}$折叠，点 $A$的对应点为点 $P$，连接 $\mathit{AP}$交 $\mathit{BC}$于点 $E$．若 $\mathit{BE}=\sqrt{2}$，则 $\mathit{AP}$的长为　        　．

问题：如图①，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $D$为 $\mathit{BC}$边上一点（不与点 $B$， $C$重合），将线段 $\mathit{AD}$绕点 $A$逆时针旋转 $90°$得到 $\mathit{AE}$，连接 $\mathit{EC}$，则线段 $\mathit{BC}$， $\mathit{DC}$， $\mathit{EC}$之间满足的等量关系式为　              　；

探索：如图②，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$与 $\text{Rt}\Delta \text{ADE}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{AD}=\mathit{AE}$，将 $\mathit{\Delta ADE}$绕点 $A$旋转，使点 $D$落在 $\mathit{BC}$边上，试探索线段 $\mathit{AD}$， $\mathit{BD}$， $\mathit{CD}$之间满足的等量关系，并证明你的结论；

应用：如图③，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{ADC}=45°$．若 $\mathit{BD}=9$， $\mathit{CD}=3$，求 $\mathit{AD}$的长．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AD}=5$， $\mathit{BC}=\mathit{CD}$且 $\mathit{BC}>\mathit{AB}$， $\mathit{BD}=8$．给出以下判断：

① $\mathit{AC}$垂直平分 $\mathit{BD}$；

②四边形 $\mathit{ABCD}$的面积 $S=\mathit{AC}·\mathit{BD}$；

③顺次连接四边形 $\mathit{ABCD}$的四边中点得到的四边形可能是正方形；

④当 $A$， $B$， $C$， $D$四点在同一个圆上时，该圆的半径为 $\frac{25}{6}$；

⑤将 $\mathit{\Delta ABD}$沿直线 $\mathit{BD}$对折，点 $A$落在点 $E$处，连接 $\mathit{BE}$并延长交 $\mathit{CD}$于点 $F$，当 $\mathit{BF}\perp \mathit{CD}$时，点 $F$到直线 $\mathit{AB}$的距离为 $\frac{678}{125}$．

其中正确的是　        　．（写出所有正确判断的序号）

如图，平面直角坐标系中， $\odot P$经过三点 $A(8,0)$， $O(0,0)$， $B(0,6)$，点 $D$是 $\odot P$上的一动点．当点 $D$到弦 $\mathit{OB}$的距离最大时， $\tan \angle \mathit{BOD}$的值是 $($　　 $)$

A．2B．3C．4D．5

点 $A$、 $B$、 $C$在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点 $C$到线段 $\mathit{AB}$所在直线的距离是　　．

在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{CA}=8$， $\mathit{CB}=6$，则 $\mathit{\Delta ABC}$内切圆的周长为　             　

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{CD}$为 $\mathit{AB}$边上的高， $\mathit{CE}$为 $\mathit{AB}$边上的中线， $\mathit{AD}=2$， $\mathit{CE}=5$，则 $\mathit{CD}=($　　 $)$

A．2B．3C．4D． $2\sqrt{3}$

定义：

数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”．

理解：

（1）如图1，已知 $A$、 $B$是 $\odot O$上两点，请在圆上找出满足条件的点 $C$，使 $\mathit{\Delta ABC}$为“智慧三角形”（画出点 $C$的位置，保留作图痕迹）；

（2）如图2，在正方形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是 $\mathit{BC}$的中点， $F$是 $\mathit{CD}$上一点，且 $\mathit{CF}=\frac{1}{4}\mathit{CD}$，试判断 $\mathit{\Delta AEF}$是否为“智慧三角形”，并说明理由；

运用：

（3）如图3，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中， $\odot O$的半径为1，点 $Q$是直线 $y=3$上的一点，若在 $\odot O$上存在一点 $P$，使得 $\mathit{\Delta OPQ}$为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点 $P$的坐标．