初中数学勾股定理试题

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AD}=5$， $\mathit{BC}=\mathit{CD}$且 $\mathit{BC}>\mathit{AB}$， $\mathit{BD}=8$．给出以下判断：

① $\mathit{AC}$垂直平分 $\mathit{BD}$；

②四边形 $\mathit{ABCD}$的面积 $S=\mathit{AC}·\mathit{BD}$；

③顺次连接四边形 $\mathit{ABCD}$的四边中点得到的四边形可能是正方形；

④当 $A$， $B$， $C$， $D$四点在同一个圆上时，该圆的半径为 $\frac{25}{6}$；

⑤将 $\mathit{\Delta ABD}$沿直线 $\mathit{BD}$对折，点 $A$落在点 $E$处，连接 $\mathit{BE}$并延长交 $\mathit{CD}$于点 $F$，当 $\mathit{BF}\perp \mathit{CD}$时，点 $F$到直线 $\mathit{AB}$的距离为 $\frac{678}{125}$．

其中正确的是　        　．（写出所有正确判断的序号）

如图，平面直角坐标系中， $\odot P$经过三点 $A(8,0)$， $O(0,0)$， $B(0,6)$，点 $D$是 $\odot P$上的一动点．当点 $D$到弦 $\mathit{OB}$的距离最大时， $\tan \angle \mathit{BOD}$的值是 $($　　 $)$

A．2B．3C．4D．5

点 $A$、 $B$、 $C$在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点 $C$到线段 $\mathit{AB}$所在直线的距离是　　．

在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{CA}=8$， $\mathit{CB}=6$，则 $\mathit{\Delta ABC}$内切圆的周长为　             　

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{CD}$为 $\mathit{AB}$边上的高， $\mathit{CE}$为 $\mathit{AB}$边上的中线， $\mathit{AD}=2$， $\mathit{CE}=5$，则 $\mathit{CD}=($　　 $)$

A．2B．3C．4D． $2\sqrt{3}$

定义：

数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”．

理解：

（1）如图1，已知 $A$、 $B$是 $\odot O$上两点，请在圆上找出满足条件的点 $C$，使 $\mathit{\Delta ABC}$为“智慧三角形”（画出点 $C$的位置，保留作图痕迹）；

（2）如图2，在正方形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是 $\mathit{BC}$的中点， $F$是 $\mathit{CD}$上一点，且 $\mathit{CF}=\frac{1}{4}\mathit{CD}$，试判断 $\mathit{\Delta AEF}$是否为“智慧三角形”，并说明理由；

运用：

（3）如图3，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中， $\odot O$的半径为1，点 $Q$是直线 $y=3$上的一点，若在 $\odot O$上存在一点 $P$，使得 $\mathit{\Delta OPQ}$为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点 $P$的坐标．

如图，点 $O$是矩形纸片 $\mathit{ABCD}$的对称中心， $E$是 $\mathit{BC}$上一点，将纸片沿 $\mathit{AE}$折叠后，点 $B$恰好与点 $O$重合．若 $\mathit{BE}=3$，则折痕 $\mathit{AE}$的长为　   　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=2\sqrt{3}$， $\angle \mathit{BAC}=120°$，点 $D$、 $E$都在边 $\mathit{BC}$上， $\angle \mathit{DAE}=60°$．若 $\mathit{BD}=2\mathit{CE}$，则 $\mathit{DE}$的长为　       　．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$内接于 $\odot O$， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\angle \mathit{ACB}$的角平分线交 $\odot O$于 $D$．若 $\mathit{AC}=6$， $\mathit{BD}=5\sqrt{2}$，则 $\mathit{BC}$的长为　     　．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}=12$， $\mathit{AB}=8$， $E$是 $\mathit{AB}$上一点，且 $\mathit{EB}=3$， $F$是 $\mathit{BC}$上一动点，若将 $\mathit{\Delta EBF}$沿 $\mathit{EF}$对折后，点 $B$落在点 $P$处，则点 $P$到点 $D$的最短距离为　　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，过 $\mathit{AC}$延长线上的点 $O$作 $\mathit{OD}\perp \mathit{AO}$，交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $D$，以 $O$为圆心， $\mathit{OD}$长为半径的圆过点 $B$．

（1）求证：直线 $\mathit{AB}$与 $\odot O$相切；

（2）若 $\mathit{AB}=5$， $\odot O$的半径为12，则 $\tan \angle \mathit{BDO}=$　    　．

如图，平面内的两条直线 $l_1$、 $l_2$，点 $A$， $B$在直线 $l_1$上，点 $C$、 $D$在直线 $l_2$上，过 $A$、 $B$两点分别作直线 $l_2$的垂线，垂足分别为 $A_1$， $B_1$，我们把线段 $A_1{B}_1$叫做线段 $\mathit{AB}$在直线 $l_2$上的正投影，其长度可记作 $T_{(\mathit{AB},\mathit{CD})}$或 $T_{(\mathit{AB},l_2)}$，特别地线段 $\mathit{AC}$在直线 $l_2$上的正投影就是线段 $A_{1}C$．

请依据上述定义解决如下问题：

（1）如图1，在锐角 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=5$， $T_{(\mathit{AC},\mathit{AB})}=3$，则 $T_{(\mathit{BC},\mathit{AB})}=$　    　；

（2）如图2，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $T_{(\mathit{AC},\mathit{AB})}=4$， $T_{(\mathit{BC},\mathit{AB})}=9$，求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积；

（3）如图3，在钝角 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle A=60°$，点 $D$在 $\mathit{AB}$边上， $\angle \mathit{ACD}=90°$， $T_{(\mathit{AD},\mathit{AC})}=2$， $T_{(\mathit{BC},\mathit{AB})}=6$，求 $T_{(\mathit{BC},\mathit{CD})}$，

如图，已知点 $E$在正方形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}$上，以 $\mathit{BE}$为边向正方形 $\mathit{ABCD}$外部作正方形 $\mathit{BEFG}$，连接 $\mathit{DF}$， $M$、 $N$分别是 $\mathit{DC}$、 $\mathit{DF}$的中点，连接 $\mathit{MN}$．若 $\mathit{AB}=7$， $\mathit{BE}=5$，则 $\mathit{MN}=$　 　．

如图，有一张长方形纸片 $\mathit{ABCD}$， $\mathit{AB}=8\mathit{cm}$， $\mathit{BC}=10\mathit{cm}$，点 $E$为 $\mathit{CD}$上一点，将纸片沿 $\mathit{AE}$折叠， $\mathit{BC}$的对应边 $B\text{'}C\text{'}$恰好经过点 $D$，则线段 $\mathit{DE}$的长为　　 $\mathit{cm}$．

如图，在正方形网格（每个小正方形的边长都是 $1)$中，若将 $\mathit{\Delta ABC}$沿 $A-D$的方向平移 $\mathit{AD}$长，得 $\mathit{\Delta DEF}(B$、 $C$的对应点分别为 $E$、 $F)$，则 $\mathit{BE}$长为 $($　　 $)$

A．1B．2C． $\sqrt{5}$D．3