初中数学抛物线与x轴的交点试题

已知函数 $y=\left\{\begin{array}{c}{(x-2)}^2-2,x⩽4\\ {(x-6)}^2-2,x>4\end{array}\right.$使 $y=a$成立的 $x$的值恰好只有3个时， $a$的值为　　．

函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与函数 $y=x$的图象如图所示，有以下结论：① $b^2-4c>0$；② $b+c=0$；③ $b<0$；④方程组 $\left\{\begin{array}{c}y=x^2+\mathit{bx}+c\\ y=x\end{array}\right.$的解为 $\left\{\begin{array}{c}{x}_1=1\\ y_1=1\end{array}\right.$， $\left\{\begin{array}{c}{x}_2=3\\ y_2=3\end{array}\right.$；⑤当 $1<x<3$时， $x^2+(b-1)x+c>0$．其中正确的是 $($　　 $)$

A．①②③B．②③④C．③④⑤D．②③⑤

已知抛物线 $y=x^2+2x-3$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），将这条抛物线向右平移 $m(m>0)$个单位，平移后的抛物线与 $x$轴交于 $C$， $D$两点（点 $C$在点 $D$的左侧），若 $B$， $C$是线段 $\mathit{AD}$的三等分点，则 $m$的值为　   ．

如图，抛物线 $y=a{x}^2$与直线 $y=\mathit{bx}+c$的两个交点坐标分别为 $A(-2,4)$， $B(1,1)$，则方程 $a{x}^2=\mathit{bx}+c$的解是　                      　．

已知二次函数 $y=x^2-x+\frac{1}{4}m-1$的图象与 $x$轴有交点，则 $m$的取值范围是 $($　　 $)$

A． $m⩽5$B． $m⩾2$C． $m<5$D． $m>2$

对于函数 $y=x^n+x^m$，我们定义 $y^{\text{'}}=n{x}^{n-1}+m{x}^{m-1}(m$、 $n$为常数）．

例如 $y=x^4+x^2$，则 $y^{\text{'}}=4x^3+2x$．

已知： $y=\frac{1}{3}{x}^3+(m-1)x^2+m^{2}x$．

（1）若方程 $y\text{'}=0$有两个相等实数根，则 $m$的值为　　；

（2）若方程 $y\text{'}=m-\frac{1}{4}$有两个正数根，则 $m$的取值范围为　　．

二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的大致图象如图所示，顶点坐标为 $(-2,-9a)$，下列结论：① $4a+2b+c>0$；② $5a-b+c=0$；③若方程 $a(x+5)(x-1)=-1$有两个根 $x_1$和 $x_2$，且 $x_1<x_2$，则 $-5<x_1<x_2<1$；④若方程 $|a{x}^2+\mathit{bx}+c|=1$有四个根，则这四个根的和为 $-4$．其中正确的结论有 $($　　 $)$

A．1个B．2个C．3个D．4个

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$与 $x$轴交于点 $A(1,0)$和 $B$，与 $y$轴的正半轴交于点 $C$．下列结论：① $\mathit{abc}>0$② $4a-2b+c>0$③ $2a-b>0$④ $3a+c>0$，其中正确结论的个数为 $($　　 $)$

A．1个B．2个C．3个D．4个

函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的图象与 $x$轴交于点 $(2,0)$，顶点坐标为 $(-1,n)$，其中 $n>0$．以下结论正确的是 $($　　 $)$

① $\mathit{abc}>0$；

②函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$在 $x=1$和 $x=-2$处的函数值相等；

③函数 $y=\mathit{kx}+1$的图象与 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的函数图象总有两个不同交点；

④函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$在 $-3⩽x⩽3$内既有最大值又有最小值．

A．①③B．①②③C．①④D．②③④

已知关于 $x$的一元二次方程 $x^2-(m+1)x+\frac{1}{2}(m^2+1)=0$有实数根．

（1）求 $m$的值；

（2）先作 $y=x^2-(m+1)x+\frac{1}{2}(m^2+1)$的图象关于 $x$轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；

（3）在（2）的条件下，当直线 $y=2x+n(n⩾m)$与变化后的图象有公共点时，求 $n^2-4n$的最大值和最小值．

已知关于 $x$的二次函数 $y=a{x}^2+(a^2-1)x-a$的图象与 $x$轴的一个交点的坐标为 $(m,0)$．若 $2<m<3$，则 $a$的取值范围是　               　．

已知关于 $x$的一元二次方程 $x^2-(m+1)x+\frac{1}{2}(m^2+1)=0$有实数根．

（1）求 $m$的值；

（2）先作 $y=x^2-(m+1)x+\frac{1}{2}(m^2+1)$的图象关于 $x$轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；

（3）在（2）的条件下，当直线 $y=2x+n(n⩾m)$与变化后的图象有公共点时，求 $n^2-4n$的最大值和最小值．

对于二次函数 $y=x^2-2\mathit{mx}-3$，下列结论错误的是 $($　　 $)$

A．它的图象与 $x$轴有两个交点

B．方程 $x^2-2\mathit{mx}=3$的两根之积为 $-3$

C．它的图象的对称轴在 $y$轴的右侧

D． $x<m$时， $y$随 $x$的增大而减小

已知关于 $x$的一元二次方程 $x^2+(k-5)x+1-k=0$，其中 $k$为常数．

（1）求证：无论 $k$为何值，方程总有两个不相等实数根；

（2）已知函数 $y=x^2+(k-5)x+1-k$的图象不经过第三象限，求 $k$的取值范围；

（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求 $k$的最大整数值．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的大致图象如图所示，则下列结论正确的是 $($　　 $)$

A． $a<0$， $b<0$， $c>0$

B． $-\frac{b}{2a}=1$

C． $a+b+c<0$

D．关于 $x$的方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=-1$有两个不相等的实数根