初中数学二次函数的性质计算题

如图1，二次函数 $y_1=(x-2)(x-4)$的图象与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），其对称轴 $l$与 $x$轴交于点 $C$，它的顶点为点 $D$．

（1）写出点 $D$的坐标　      　．

（2）点 $P$在对称轴 $l$上，位于点 $C$上方，且 $\mathit{CP}=2\mathit{CD}$，以 $P$为顶点的二次函数 $y_2=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的图象过点 $A$．

①试说明二次函数 $y_2=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的图象过点 $B$；

②点 $R$在二次函数 $y_1=(x-2)(x-4)$的图象上，到 $x$轴的距离为 $d$，当点 $R$的坐标为　    　时，二次函数 $y_2=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的图象上有且只有三个点到 $x$轴的距离等于 $2d$；

③如图2，已知 $0<m<2$，过点 $M(0,m)$作 $x$轴的平行线，分别交二次函数 $y_1=(x-2)(x-4)$、 $y_2=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的图象于点 $E$、 $F$、 $G$、 $H$（点 $E$、 $G$在对称轴 $l$左侧），过点 $H$作 $x$轴的垂线，垂足为点 $N$，交二次函数 $y_1=(x-2)(x-4)$的图象于点 $Q$，若 $\mathit{\Delta GHN}\backsim \mathit{\Delta EHQ}$，求实数 $m$的值．

如图1，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}$的图象过点 $A(-1,3)$，顶点 $B$的横坐标为1．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）点 $P$在该二次函数的图象上，点 $Q$在 $x$轴上，若以 $A$、 $B$、 $P$、 $Q$为顶点的四边形是平行四边形，求点 $P$的坐标；

（3）如图3，一次函数 $y=\mathit{kx}(k>0)$的图象与该二次函数的图象交于 $O$、 $C$两点，点 $T$为该二次函数图象上位于直线 $\mathit{OC}$下方的动点，过点 $T$作直线 $\mathit{TM}\perp \mathit{OC}$，垂足为点 $M$，且 $M$在线段 $\mathit{OC}$上（不与 $O$、 $C$重合），过点 $T$作直线 $\mathit{TN}//y$轴交 $\mathit{OC}$于点 $N$．若在点 $T$运动的过程中， $\frac{O{N}^2}{\mathit{OM}}$为常数，试确定 $k$的值．

如图1，已知一次函数 $y=x+3$的图象与 $x$轴、 $y$轴分别交于 $A$、 $B$两点，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$过 $A$、 $B$两点，且与 $x$轴交于另一点 $C$．

（1）求 $b$、 $c$的值；

（2）如图1，点 $D$为 $\mathit{AC}$的中点，点 $E$在线段 $\mathit{BD}$上，且 $\mathit{BE}=2\mathit{ED}$，连接 $\mathit{CE}$并延长交抛物线于点 $M$，求点 $M$的坐标；

（3）将直线 $\mathit{AB}$绕点 $A$按逆时针方向旋转 $15°$后交 $y$轴于点 $G$，连接 $\mathit{CG}$，如图2， $P$为 $\mathit{\Delta ACG}$内一点，连接 $\mathit{PA}$、 $\mathit{PC}$、 $\mathit{PG}$，分别以 $\mathit{AP}$、 $\mathit{AG}$为边，在他们的左侧作等边 $\mathit{\Delta APR}$，等边 $\mathit{\Delta AGQ}$，连接 $\mathit{QR}$

①求证： $\mathit{PG}=\mathit{RQ}$；

②求 $\mathit{PA}+\mathit{PC}+\mathit{PG}$的最小值，并求出当 $\mathit{PA}+\mathit{PC}+\mathit{PG}$取得最小值时点 $P$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象经过点 $A(-1,0)$， $B(0,-\sqrt{3})$， $C(2,0)$，其对称轴与 $x$轴交于点 $D$

（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；

（2）若 $P$为 $y$轴上的一个动点，连接 $\mathit{PD}$，则 $\frac{1}{2}\mathit{PB}+\mathit{PD}$的最小值为　      　；

（3） $M(x,t)$为抛物线对称轴上一动点

①若平面内存在点 $N$，使得以 $A$， $B$， $M$， $N$为顶点的四边形为菱形，则这样的点 $N$共有　　个；

②连接 $\mathit{MA}$， $\mathit{MB}$，若 $\angle \mathit{AMB}$不小于 $60°$，求 $t$的取值范围．

已知两个二次函数 $y_1=x^2+\mathit{bx}+c$和 $y_2=x^2+m$．对于函数 $y_1$，当 $x=2$时，该函数取最小值．

（1）求 $b$的值；

（2）若函数 $y_1$的图象与坐标轴只有2个不同的公共点，求这两个公共点间的距离；

（3）若函数 $y_1$、 $y_2$的图象都经过点 $(1,-2)$，过点 $(0$， $a-3\left)\right(a$为实数）作 $x$轴的平行线，与函数 $y_1$、 $y_2$的图象共有4个不同的交点，这4个交点的横坐标分别是 $x_1$、 $x_2$、 $x_3$、 $x_4$，且 $x_1<x_2<x_3<x_4$，求 $x_4-x_3+x_2-x_1$的最大值．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，将二次函数 $y=x^2-1$的图象 $M$沿 $x$轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象 $N$．

（1）求 $N$的函数表达式；

（2）设点 $P(m,n)$是以点 $C(1,4)$为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图象 $M$与 $x$轴相交于两点 $A$、 $B$，求 $P{A}^2+P{B}^2$的最大值；

（3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点．求 $M$与 $N$所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数．