初中数学正比例函数的性质试题

有这样一个问题：探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数 $y=\frac{1}{k}x$与 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$的图象性质．

小明根据学习函数的经验，对函数 $y=\frac{1}{k}x$与 $y=\frac{k}{x}$，当 $k>0$时的图象性质进行了探究．

下面是小明的探究过程：

（1）如图所示，设函数 $y=\frac{1}{k}x$与 $y=\frac{k}{x}$图象的交点为 $A$， $B$，已知 $A$点的坐标为 $(-k,-1)$，则 $B$点的坐标为　　；

（2）若点 $P$为第一象限内双曲线上不同于点 $B$的任意一点．

①设直线 $\mathit{PA}$交 $x$轴于点 $M$，直线 $\mathit{PB}$交 $x$轴于点 $N$．求证： $\mathit{PM}=\mathit{PN}$．

证明过程如下：设 $P(m,\frac{k}{m})$，直线 $\mathit{PA}$的解析式为 $y=\mathit{ax}+b(a\ne 0)$．

则 $\left\{\begin{array}{c}-\mathit{ka}+b=-1\\ \mathit{ma}+b=\frac{k}{m}\end{array}\right.$，

解得 $\left\{\begin{array}{c}a=\\ b=\end{array}\right.$　　

$\therefore$直线 $\mathit{PA}$的解析式为　　

请你把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明．

②当 $P$点坐标为 $(1$， $k\left)\right(k\ne 1)$时，判断 $\mathit{\Delta PAB}$的形状，并用 $k$表示出 $\mathit{\Delta PAB}$的面积．

正比例函数 $y=\mathit{kx}(k\ne 0)$的函数值 $y$随着 $x$增大而减小，则一次函数 $y=x+k$的图象大致是 $($　　 $)$

A．B．

C．D．

从数 $-2$，1，2，5，8中任取一个数记作 $k$，则正比例函数 $y=\mathit{kx}$的图象经过第二、四象限的概率是　　．

姜老师给出一个函数表达式，甲、乙、丙三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质．甲：函数图象经过第一象限；乙：函数图象经过第三象限；丙：在每一个象限内， $y$值随 $x$值的增大而减小．根据他们的描述，姜老师给出的这个函数表达式可能是 $($　　 $)$

A． $y=3x$B． $y=\frac{3}{x}$C． $y=-\frac{1}{x}$D． $y=x^2$

函数 $y=5x$的图象经过的象限是　　．

如图，已知直线 $l:y=-x$，双曲线 $y=\frac{1}{x}$，在 $l$上取一点 $A(a$， $-a\left)\right(a>0)$，过 $A$作 $x$轴的垂线交双曲线于点 $B$，过 $B$作 $y$轴的垂线交 $l$于点 $C$，过 $C$作 $x$轴的垂线交双曲线于点 $D$，过 $D$作 $y$轴的垂线交 $l$于点 $E$，此时 $E$与 $A$重合，并得到一个正方形 $\mathit{ABCD}$，若原点 $O$在正方形 $\mathit{ABCD}$的对角线上且分这条对角线为 $1:2$的两条线段，则 $a$的值为　　．

下列函数中，满足 $y$的值随 $x$的值增大而增大的是 $($　　 $)$

A． $y=-2x$B． $y=3x-1$C． $y=\frac{1}{x}$D． $y=x^2$

已知正比例函数 $y=\mathit{kx}(k$是常数， $k\ne 0)$的图象经过第二、四象限，那么 $y$的值随着 $x$的值增大而        ．（填“增大”或“减小” $)$

已知正比例函数 $y=\mathit{ax}(a\ne 0)$与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$图象的一个交点坐标为 $(-1,-1)$，则另一个交点坐标是　　．

在平面直角坐标系中，点 $A(\sqrt{3}$， $1)$在射线 $\mathit{OM}$上，点 $B(\sqrt{3}$， $3)$在射线 $\mathit{ON}$上，以 $\mathit{AB}$为直角边作 $\text{Rt}\Delta {\text{ABA}}_{\text{1}}$，以 $B{A}_1$为直角边作第二个 $\mathit{Rt}$△ $B{A}_1{B}_1$，以 $A_1{B}_1$为直角边作第三个 $\mathit{Rt}$△ $A_1{B}_1{A}_2$， $\dots$，依此规律，得到 $\mathit{Rt}$△ $B_{2017}{A}_{2018}{B}_{2018}$，则点 $B_{2018}$的纵坐标为　　．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中， $\text{Rt}\Delta \text{AOB}$ 的直角顶点 $B$ 在 $y$ 轴上，点 $A$ 的坐标为 $(1,\sqrt{3})$ ，将 $\text{Rt}\Delta \text{AOB}$ 沿直线 $y=-x$ 翻折，得到 $\mathit{Rt}$ △ $A^{\text{'}}O{B}^{\text{'}}$ ，过 $A^{\text{'}}$ 作 $A^{\text{'}}C$ 垂直于 $O{A}^{\text{'}}$ 交 $y$ 轴于点 $C$ ，则点 $C$ 的坐标为 $($ 　　 $)$

A．

$(0,-2\sqrt{3})$

B．

$(0,-3)$

C．

$(0,-4)$

D．

$(0,-4\sqrt{3})$

如图，过直线 $l:y=\sqrt{3}x$ 上的点 $A_1$ 作 $A_1{B}_1\perp l$ ，交 $x$ 轴于点 $B_1$ ，过点 $B_1$ 作 $B_1{A}_2\perp x$ 轴．交直线 $l$ 于点 $A_2$ ；过点 $A_2$ 作 $A_2{B}_2\perp l$ ，交 $x$ 轴于点 $B_2$ ，过点 $B_2$ 作 $B_2{A}_3\perp x$ 轴，交直线 $l$ 于点 $A_3$ ； $\dots$ 按照此方法继续作下去，若 $O{B}_1=1$ ，则线段 $A_n{A}_{n-1}$ 的长度为 　　．（结果用含正整数 $n$ 的代数式表示）

如图， $△O{B}_1{A}_2$、 $△O{B}_2{A}_3$、 $△O{B}_3{A}_4$、… $△O{B}_n{A}_n{}_{+1}$都是等边三角形，其中 $B_1{A}_1$、 $B_2{A}_2$、… $B_n{A}_n$都与x轴垂直，点A₁、A₂、…A_n都在x轴上，点B₁、B₂、…B_n都在直线 $y=\sqrt{3}x$上，已知 $O{A}_1＝1$，则点A₂₀₁₆的坐标为　　．

给出下列函数：① $y=-3x+2$；② $y=\frac{3}{x}$；③ $y=2x^2$；④ $y=3x$，上述函数中符合条件“当 $x>1$时，函数值 $y$随自变量 $x$增大而增大“的是 $($　　 $)$

A．①③B．③④C．②④D．②③

在同一坐标系中，若正比例函数 $y=k_{1}x$ 与反比例函数 $y=\frac{k_2}{x}$ 的图象没有交点，则 $k_1$ 与 $k_2$ 的关系，下面四种表述① $k_1+k_2⩽0$ ；② $|k_1+k_2|<\left|k_1\right|$ 或 $|k_1+k_2|<\left|k_2\right|$ ；③ $|k_1+k_2|<|k_1-k_2|$ ；④ $k_1{k}_2<0$ ．正确的有 $($ 　　 $)$

A．

4个

B．

3个

C．

2个

D．

1个