如图,在平面直角坐标系中,矩形的边,.若不改变矩形的形状和大小,当矩形顶点在轴的正半轴上左右移动时,矩形的另一个顶点始终在轴的正半轴上随之上下移动.
(1)当时,求点的坐标;
(2)设的中点为,连接、,当四边形的面积为时,求的长;
(3)当点移动到某一位置时,点到点的距离有最大值,请直接写出最大值,并求此时的值.
特例感知
(1)如图1,对于抛物线,,,下列结论正确的序号是 ;
①抛物线,,都经过点;
②抛物线,的对称轴由抛物线的对称轴依次向左平移个单位得到;
③抛物线,,与直线的交点中,相邻两点之间的距离相等.
形成概念
(2)把满足为正整数)的抛物线称为“系列平移抛物线”.
知识应用
在(2)中,如图2.
①“系列平移抛物线”的顶点依次为,,,,,用含的代数式表示顶点的坐标,并写出该顶点纵坐标与横坐标之间的关系式;
②“系列平移抛物线”存在“系列整数点(横、纵坐标均为整数的点)”:,,,,,其横坐标分别为,,,,为正整数),判断相邻两点之间的距离是否都相等,若相等,直接写出相邻两点之间的距离;若不相等,说明理由.
③在②中,直线分别交“系列平移抛物线”于点,,,,,连接,,判断,是否平行?并说明理由.
在平面直角坐标系 中,点 的坐标为 , ,点 的坐标为 , ,且 , ,若 , 为某个矩形的两个顶点,且该矩形的边均与某条坐标轴垂直,则称该矩形为点 , 的"相关矩形",如图为点 , 的"相关矩形"示意图.
(1)已知点 的坐标为 ,
①若点 的坐标为 ,求点 , 的"相关矩形"的面积;
②点 在直线 上,若点 , 的"相关矩形"为正方形,求直线 的表达式;
(2) 的半径为 ,点 的坐标为 ,若在 上存在一点 ,使得点 , 的"相关矩形"为正方形,求 的取值范围.