初中数学规律型：数字的变化类填空题

一列数 $a_1$， $a_2$， $a_3$， $\dots$满足条件： $a_1=\frac{1}{2}$， $a_n=\frac{1}{1-a_{n-1}}(n⩾2$，且 $n$为整数），则 $a_{2016}=$　        　．

定义：分数 $\frac{n}{m}(m$， $n$为正整数且互为质数）的连分数 $\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\dots }}}$（其中 $a_1$， $a_2$， $a_3$， $\dots$，为整数，且等式右边的每个分数的分子都为 $1)$，记作 $\frac{n}{m}\frac{\underset{¯}{△}}{}\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\dots$，

例如： $\frac{7}{19}=\frac{1}{\frac{19}{7}}=\frac{1}{2+\frac{5}{7}}=\frac{1}{2+\frac{1}{\frac{7}{5}}}=\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{2}{5}}}=\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{\frac{5}{2}}}}=\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}}$， $\frac{7}{19}$的连分数为 $\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}}$，记作 $\frac{7}{19}\frac{\underset{¯}{△}}{}\frac{1}{2}+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$，则　    　 $\frac{\underset{¯}{△}}{}\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$．

在求 $1+3+3^2+3^3+3^4+3^5+3^6+3^7+3^8$的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍，于是她假设： $S=1+3+3^2+3^3+3^4+3^5+3^6+3^7+3^8$①，

然后在①式的两边都乘以3，得： $3S=3+3^2+3^3+3^4+3^5+3^6+3^7+3^8+3^9$②，

② $-$①得， $3S-S=3^9-1$，即 $2S=3^9-1$，

所以 $S=\frac{3^9-1}{2}$．

得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母 $m(m\ne 0$且 $m\ne 1)$，能否求出 $1+m+m^2+m^3+m^4+\dots +m^{2016}$的值？如能求出，其正确答案是　                              　．

观察下列一组数： $-\frac{2}{3}$， $\frac{6}{9}$， $-\frac{12}{27}$， $\frac{20}{81}$， $-\frac{30}{243}$， $\dots$，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第 $n$个数是　 　．

将从1开始的连续自然数按以下规律排列：

第1行					1
第2行				2	3	4
第3行			9	8	7	6	5
第4行		10	11	12	13	14	15	16
第5行	25	24	23	22	21	20	19	18	17

$\dots$

则2017在第　    　行．

如图，在 $6\times 6$的网格内填入1至6的数字后，使每行、每列、每个小粗线框中的数字不重复，则 $a\times c=$　   　．

如图所示，下列各三角形中的三个数之间均有相同的规律，根据此规律，当图中 $m=90$时，正整数 $n$的值为　　．

将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是　　．

设 $a_1$， $a_2$， $a_3\dots \dots$是一列正整数，其中 $a_1$表示第一个数， $a_2$表示第二个数，依此类推， $a_n$表示第 $n$个数 $(n$是正整数）．已知 $a_1=1$， $4a_n={(a_{n+1}-1)}^2-{(a_n-1)}^2$，则 $a_{2018}=$　　．

将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2）， $(4,6)$， $(8$，10， $12)$， $(14$，16，18， $20)\dots$，我们称“4”是第2组第1个数字，“16”是第4组第2个数字，若2020是第 $m$组第 $n$个数字，则 $m+n=$　　．

观察下列等式： $1=1^2-0^2$， $3=2^2-1^2$， $5=3^2-2^2$， $\dots$按此规律，则第 $n$个等式为 $2n-1=$　　．

观察下列各式： $a_1=\frac{2}{3}$， $a_2=\frac{3}{5}$， $a_3=\frac{10}{7}$， $a_4=\frac{15}{9}$， $a_5=\frac{26}{11}$， $\dots$，根据其中的规律可得 $a_n=$　     　（用含 $n$的式子表示）．

已知： $2+\frac{2}{3}=2^2\times \frac{2}{3}$， $3+\frac{3}{8}=3^2\times \frac{3}{8}$， $4+\frac{4}{15}=4^2\times \frac{4}{15}$， $5+\frac{5}{24}=5^2\times \frac{5}{24}$， $\dots$，若 $10+\frac{b}{a}={10}^2\times \frac{b}{a}$符合前面式子的规律，则 $a+b=$　　．

如图所示，是一个运算程序示意图．若第一次输入 $k$的值为125，则第2018次输出的结果是　      　．

有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是 　         　，这2019个数的和是 　          　．