初中数学规律型：数字的变化类试题

将从1开始的连续自然数按图规律排列：规定位于第 $m$行，第 $n$列的自然数10记为 $(3,2)$，自然数15记为 $(4,2)\dots$按此规律，自然数2018记为　　

列 行	第1列	第2列	第3列	第4列
第1行	1	2	3	4
第2行	8	7	6	5
第3行	9	10	11	12
第4行	16	15	14	13
$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$
第 $n$行	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$

观察以下一列数：3， $\frac{5}{4}$， $\frac{7}{9}$， $\frac{9}{16}$， $\frac{11}{25}$， $\dots$则第20个数是　　．

观察下列各式的规律：

$(x-1)(x+1)=x^2-1$

$(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1$

$(x-1)(x^3+x^2+x+1)=x^4-1$

$\dots$

可得到 $(x-1)(x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)=$　         　；

一般地 $(x-1)(x^n+x^{n-1}+x^5+\dots +x^2+x+1)=$　             　．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为2，其面积标记为 $S_1$，以 $\mathit{CD}$为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 $S_2$， $\dots$，按照此规律继续下去，则 $S_9$的值为 $($　　 $)$

A． ${\left(\frac{1}{2}\right)}^6$B． ${\left(\frac{1}{2}\right)}^7$C． ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^6$D． ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^7$

如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律，依此规律，那么第4个图形中的 $x=$　      　，一般地，用含有 $m$， $n$的代数式表示 $y$，即 $y=$　    　．

有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是 　         　，这2019个数的和是 　          　．

观察“田”字中各数之间的关系：

则 $c$的值为　　．

定义一种对正整数 $n$的“ $F$”运算：①当 $n$为奇数时， $F\left(n\right)=3n+1$；②当 $n$为偶数时， $F\left(n\right)=\frac{n}{2^k}$（其中 $k$是使 $F\left(n\right)$为奇数的正整数） $\dots \dots$，两种运算交替重复进行，例如，取 $n=24$，则：

若 $n=13$，则第2018次“ $F$”运算的结果是 $($　　 $)$

A．1B．4C．2018D． $4^{2018}$

我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式 ${(a+b)}^n$的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”

根据”杨辉三角”请计算 ${(a+b)}^8$的展开式中从左起第四项的系数为 $($　　 $)$

A．84B．56C．35D．28

观察下列各式：

$\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}=1+\frac{1}{1\times 2}$，

$\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}=1+\frac{1}{2\times 3}$，

$\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}=1+\frac{1}{3\times 4}$，

$\dots \dots$

请利用你所发现的规律，

计算 $\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+\dots +\sqrt{1+\frac{1}{9^2}+\frac{1}{{10}^2}}$，其结果为　　．

观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出 $a$的值为 $($　　 $)$

A．23B．75C．77D．139

观察下列各式：

$\frac{2}{1\times 3}=\frac{1}{1}-\frac{1}{3}$；

$\frac{2}{2\times 4}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$；

$\frac{2}{3\times 5}=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$；

$\dots$

请利用你所得结论，化简代数式： $\frac{1}{1\times 3}+\frac{1}{2\times 4}+\frac{1}{3\times 5}+\dots +\frac{1}{n(n+2)}(n⩾3$且 $n$为整数），其结果为　　．

观察下列数据： $-2$， $\frac{5}{2}$， $-\frac{10}{3}$， $\frac{17}{4}$， $-\frac{26}{5}$， $\dots$，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是　 $-\frac{122}{11}$　．

一列数 $a_1$， $a_2$， $a_3$， $\dots$满足条件： $a_1=\frac{1}{2}$， $a_n=\frac{1}{1-a_{n-1}}(n⩾2$，且 $n$为整数），则 $a_{2016}=$　        　．

按一定规律排列的一列数： $\frac{1}{2}$，1，1，□， $\frac{9}{11}$， $\frac{11}{13}$， $\frac{13}{17}$， $\dots$请你仔细观察，按照此规律方框内的数字应为　      　．