初中数学规律型：数字的变化类试题

观察下列一组数的排列规律：

，，，，，，，，，，，，，，，

那么，这一组数的第2019个数是　　．

从 $-1$ ，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作 $a_k$ ， $b_k)$ 构成一个数组 $M_K=\{a_k$ ， $b_k\}$ （其中 $k=1$ ， $2\dots S$ ，且将 $\{a_k$ ， $b_k\}$ 与 $\{b_k$ ， $a_k\}$ 视为同一个数组），若满足：对于任意的 $M_i=\{a_i$ ， $b_i\}$ 和 $M_j=\{a_j$ ， $b_j\left\}\right(i\ne j$ ， $1⩽i⩽S$ ， $1⩽j⩽S)$ 都有 $a_i+b_i\ne a_j+b_j$ ，则 $S$ 的最大值 $($ 　　 $)$

A．

10

B．

6

C．

5

D．

4

阅读下面的材料：

按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为，排在第二位的数称为第二项，记为，依此类推，排在第位的数称为第项，记为．所以，数列的一般形式可以写成：，，，，，．

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用表示．如：数列1，3，5，7，为等差数列，其中，，公差为．

根据以上材料，解答下列问题：

（1）等差数列5，10，15，的公差为　　，第5项是　　．

（2）如果一个数列，，，，，是等差数列，且公差为，那么根据定义可得到：，，，，，．

所以

，

，

由此，请你填空完成等差数列的通项公式：　　．

（3）是不是等差数列，，的项？如果是，是第几项？

我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方（a+b）ⁿ的展开式（按b的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将（s+x）¹⁵的展开式按x的升幂排列得：（s+x）¹⁵＝a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₅x¹⁵．

依上述规律，解决下列问题：

（1）若s＝1，则a₂＝　　；

（2）若s＝2，则a₀+a₁+a₂+…+a₁₅＝　　．

观察下列等式：

①，

②，

③，

请你根据以上规律，写出第6个等式　                   　．

探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是　 　．

如图，在以为直角顶点的等腰直角三角形纸片中，将角折起，使点落在边上的点（不与点，重合）处，折痕是．

如图1，当时，；

如图2，当时，；

如图3，当时，；

依此类推，当为正整数）时，　　．

）观察下列各式：

，

，

，

请利用你发现的规律，计算：

，

其结果为　　．

南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了 ${(a+b)}^n(n$ 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为"杨辉三角"

${(a+b)}^0=1$

${(a+b)}^1=a+b$

${(a+b)}^2=a^2+2\mathit{ab}+b^2$

${(a+b)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$

${(a+b)}^4=a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4$

${(a+b)}^5=a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5$

$\dots$

则 ${(a+b)}^9$ 展开式中所有项的系数和是 $($ 　　 $)$

A．

128

B．

256

C．

512

D．

1024

数轴上，两点的距离为4，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，，．，是整数）处，那么线段的长度为　．

已知有理数 $a\ne 1$ ，我们把 $\frac{1}{1-a}$ 称为 $a$ 的差倒数，如：2的差倒数是 $\frac{1}{1-2}=-1$ ， $-1$ 的差倒数是 $\frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2}$ ．如果 $a_1=-2$ ， $a_2$ 是 $a_1$ 的差倒数， $a_3$ 是 $a_2$ 的差倒数， $a_4$ 是 $a_3$ 的差倒数 $\dots \dots$ 依此类推，那么 $a_1+a_2+\dots +a_{100}$ 的值是 $($ 　　 $)$

A．

$-7.5$

B．

7.5

C．

5.5

D．

$-5.5$

观察下列一组数：

，，，，，，

它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第个数　　（用含的式子表示）

阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法：

设①

则②

②①得

请仿照小明的方法解决以下问题：

（1）　　；

（2）　　；

（3）求的和，是正整数，请写出计算过程）．

如图，过点 $A_0(0,1)$ 作 $y$ 轴的垂线交直线 $l:y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$ 于点 $A_1$ ，过点 $A_1$ 作直线 $l$ 的垂线，交 $y$ 轴于点 $A_2$ ，过点 $A_2$ 作 $y$ 轴的垂线交直线 $l$ 于点 $A_3$ ， $\dots$ ，这样依次下去，得到△ $A_0{A}_1{A}_2$ ，△ $A_2{A}_3{A}_4$ ，△ $A_4{A}_5{A}_6$ ， $\dots$ ，其面积分别记为 $S_1$ ， $S_2$ ， $S_3$ ， $\dots$ ，则 $S_{100}$ 为 $($ 　　 $)$

A．

${\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)}^{100}$

B．

${\left(3\sqrt{3}\right)}^{100}$

C．

$3\sqrt{3}\times 4^{199}$

D．

$3\sqrt{3}\times 2^{395}$

我们规定：，，，，，（即当为大于1的奇数时，，当为大于1的偶数时，，按此规律，　　．