已知椭圆 C: y2 a2 + x2 b2 =1 a > b > 0 的离心率为 5 3 ,点 A - 2 , 0 在 C 上.
(1)求 C 的方程;
(2)过点 - 2 , 3 的直线交 C 于点 P , Q 两点,直线 AP , AQ 与 y 轴的交点分别为 M , N ,证明:线段 MN 的中点为定点.
(本小题满分12分)若函数的图象(部分)如图所示。(I)求的解析式;(II)若,求
(本小题满分12分)设实数、、满足,,试比较、、的大小关系。
(本小题满分12分)设函数.(Ⅰ)求的最小正周期;(Ⅱ)当时,求函数的最大值和最小值.
(本小题满分13分)定义F(x,y)=(1+x)y,其中x,y∈(0,+∞).(1)令函数f(x)=F(1,log2(x3+ax2+bx+1)),其图象为曲线C,若存在实数b使得曲线C在x0(-4<x0<-1)处有斜率为-8的切线,求实数a的取值范围;(2)令函数g(x)=F(1,log2[(lnx-1)ex+x]),是否存在实数x0∈[1,e],使曲线y=g(x)在点x=x0处的切线与y轴垂直?若存在,求出x0的值;若不存在,请说明理由.(3)当x,y∈N,且x<y时,求证:F(x,y)>F(y,x).
(本小题满分13分)设函数y=f(x)的定义域为(0,+∞),且在(0,+∞)上单调递增,若对任意x,y∈(0,+∞)都有:f(xy)=f(x)+f(y)成立,数列{an}满足:a1=f(1)+1,f(-)+f(+)=0.设Sn=aa+aa+aa+…+aa+aa.(1)求数列{an}的通项公式,并求Sn关于n的表达式;(2)设函数g(x)对任意x、y都有:g(x+y)=g(x)+g(y)+2xy,若g(1)=1,正项数列{bn}满足:b=g(),Tn为数列{bn}的前n项和,试比较4Sn与Tn的大小.