在等腰梯形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=\mathit{DC}=5,\mathit{AD}=4,\mathit{BC}=10$，点 $E$在下底边 $\mathit{BC}$上，点 $F$在腰 $\mathit{AB}$上.

（1）若 $\mathit{EF}$平分等腰梯形 $\mathit{ABCD}$的周长，设 $\mathit{BE}$长为 $x$，试用含 $x$的代数式表示 $△\mathit{BEF}$的面积；

（2）是否存在线段 $\mathit{EF}$将等腰梯形 $\mathit{ABCD}$的周长和面积同时平分?若存在，求出此时 $\mathit{BE}$的长；若不存在，请说明理由；

（3）是否存在线段 $\mathit{EF}$将等腰梯形 $\mathit{ABCD}$的周长和面积同时分成 $1:2$的两部分?若存在，求出此时 $\mathit{BE}$的长；若不存在，请说明理由.