设定义在R上的函数 $f\left(x\right)$ 满足：对于任意的x ₁、x ₂∈R，当 _{$x_1<x_2$} 时，都有 $f\left(x_1\right)\le f\left(x_2\right)$ ．    

（1）若 $f\left(x\right)=a{x}^3+1$ ，求a的取值范围；    

（2）若 $f\left(x\right)$ 是周期函数，证明： $f\left(x\right)$ 是常值函数；    

（3）设 $f\left(x\right)$ 恒大于零， $g\left(x\right)$ 是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是 $g\left(x\right)$ 的最大值．函数 $h\left(x\right)=f\left(x\right)g\left(x\right)$ ．证明：" $h\left(x\right)$ 是周期函数"的充要条件是" $f\left(x\right)$ 是常值函数"．