已知函数 $f\left(x\right)=a^x$ ， $g\left(x\right)=\text{lo}{\text{g}}_{a}x$ ，其中 a>1.

（I）求函数 $h\left(x\right)=f\left(x\right)-x\text{ln}a$ 的单调区间；

（II）若曲线 $y=f\left(x\right)$ 在点 $\left(x_1,f\left(x_1\right)\right)$ 处的切线与曲线 $y=g\left(x\right)$ 在点 $\left(x_2,g\left(x_2\right)\right)$ 处的切线平行，证明 $x_1+g\left(x_2\right)=-\frac{2\text{lnln}a}{\text{ln}a}$ ；

（III）证明当 $a\ge e^{\frac{1}{e}}$ 时，存在直线 l，使 l是曲线 $y=f\left(x\right)$ 的切线，也是曲线 $y=g\left(x\right)$ 的切线.