在平面直角坐标系中，O为原点，ΔOAB是等腰直角三角形，∠O

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度较难
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在平面直角坐标系中， $O$ 为原点， $ΔOAB$ 是等腰直角三角形， $∠ OBA = 90 °$ ， $BO = BA$ ，顶点 $A (4, 0)$ ，点 $B$ 在第一象限，矩形 $OCDE$ 的顶点 $E (- \frac{7}{2}$ ， $0)$ ，点 $C$ 在 $y$ 轴的正半轴上，点 $D$ 在第二象限，射线 $DC$ 经过点 $B$ ．

（Ⅰ）如图①，求点 $B$ 的坐标；

（Ⅱ）将矩形 $OCDE$ 沿 $x$ 轴向右平移，得到矩形 $O' C' D' E'$ ，点 $O$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 的对应点分别为 $O'$ ， $C'$ ， $D'$ ， $E'$ ．设 $OO' = t$ ，矩形 $O' C' D' E'$ 与 $ΔOAB$ 重叠部分的面积为 $S$ ．

①如图②，当点 $E'$ 在 $x$ 轴正半轴上，且矩形 $O' C' D' E'$ 与 $ΔOAB$ 重叠部分为四边形时， $D' E'$ 与 $OB$ 相交于点 $F$ ，试用含有 $t$ 的式子表示 $S$ ，并直接写出 $t$ 的取值范围；

②当 $\frac{5}{2} ⩽ t ⩽ \frac{9}{2}$ 时，求 $S$ 的取值范围（直接写出结果即可）．

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已知实数 $x$ ， $y$ 满足 $\{\begin{matrix} 5 x^{2} y^{2} + 2 x + 2 y = 133 \\ \frac{x + y}{4} + 2 x^{2} y^{2} = 51 \end{matrix}$ ，求 $x^{2} + y^{2}$ 的值．

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跳绳的次数	频数
$60 ⩽ x <$	4
$⩽ x <$	6
$⩽ x <$	11
$⩽ x <$	22
$⩽ x <$	10
$⩽ x <$	4
$⩽ x <$

（1）已知样本中最小的数是60，最大的数是198，组距是20，请你将该表左侧的每组数据补充完整；

（2）估计全校学生60秒跳绳成绩能达到最好一组成绩的人数；

（3）若以各组组中值代表各组的实际数据，求出样本平均数（结果保留整数）及众数；分别写出用样本平均数和众数估计全校学生60秒跳绳成绩得到的推断性结论．

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$x$	$\dots$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	$\dots$
$y_{1}$	$\dots$	12	11	10	9	8	$\dots$

（1）直接写出函数解析式及其图象与 $x$ 轴和 $y$ 轴的交点 $M$ ， $N$ 的坐标；

（2）设反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象与（1）求得的函数的图象交于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 为坐标原点且 $S_{ΔAOB} = 30$ ，求反比例函数解析式；已知 $a \neq 0$ ，点 $(a, y_{2})$ 与 $(a, y_{1})$ 分别在反比例函数与（1）求得的函数的图象上，直接写出 $y_{2}$ 与 $y_{1}$ 的大小关系．

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（1）直接写出 $∠ C$ 的度数；

（2）求 $A$ 、 $C$ 两港之间的距离．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）

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如图，正方形 $ABCD$ ， $G$ 是 $BC$ 边上任意一点（不与 $B$ 、 $C$ 重合）， $DE ⊥ AG$ 于点 $E$ ， $BF / / DE$ ，且交 $AG$ 于点 $F$ ．

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