已知椭圆C的方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，右焦点为 $F(\sqrt{2},0)$，且离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线 $\mathit{MN}$与曲线 $x^2+y^2=b^2(x>0)$相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是 $\left|\mathit{MN}\right|=\sqrt{3}$．