某种落地灯如图1所示，AB为立杆，其高为84cm；BC为支杆

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度较难
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某种落地灯如图1所示， $AB$ 为立杆，其高为 $84 cm$ ； $BC$ 为支杆，它可绕点 $B$ 旋转，其中 $BC$ 长为 $54 cm$ ； $DE$ 为悬杆，滑动悬杆可调节 $CD$ 的长度．支杆 $BC$ 与悬杆 $DE$ 之间的夹角 $∠ BCD$ 为 $60 °$ ．

（1）如图2，当支杆 $BC$ 与地面垂直，且 $CD$ 的长为 $50 cm$ 时，求灯泡悬挂点 $D$ 距离地面的高度；

（2）在图2所示的状态下，将支杆 $BC$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $20 °$ ，同时调节 $CD$ 的长（如图 $3)$ ，此时测得灯泡悬挂点 $D$ 到地面的距离为 $90 cm$ ，求 $CD$ 的长．（结果精确到 $1 cm$ ，参考数据： $\sin 20 ° \approx 0.34$ ， $\cos 20 ° \approx 0.94$ ， $\tan 20 ° \approx 0.36$ ， $\sin 40 ° \approx 0.64$ ， $\cos 40 ° \approx 0.77$ ， $\tan 40 ° \approx 0.84)$

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某体育老师测量了自己任教的甲、乙两班男生的身高，并制作了如下不完整的统计图表．

身高分组	频数	频率
$152 ⩽ x < 155$	3	0.06
$155 ⩽ x < 158$	7	0.14
$158 ⩽ x < 161$	$m$	0.28
$161 ⩽ x < 164$	13	$n$
$164 ⩽ x < 167$	9	0.18
$167 ⩽ x < 170$	3	0.06
$170 ⩽ x < 173$	1	0.02

根据以上统计图表完成下列问题：

（1）统计表中 $m =$ 　　， $n =$ 　　，并将频数分布直方图补充完整；

（2）在这次测量中两班男生身高的中位数在：　　范围内；

（3）在身高 $⩾ 167 cm$ 的4人中，甲、乙两班各有2人，现从4人中随机推选2人补充到学校国旗护卫队中，请用列表或画树状图的方法求出这两人都来自相同班级的概率．

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（1）请直接写出点 $B$ 的坐标，并求 $a$ 、 $c$ 的值；

（2）直线 $y = kx + 1$ 经过点 $B$ ，与 $x$ 轴交于点 $D$ ．点 $E$ （与点 $D$ 不重合）在该直线上，且 $AD = AE$ ，请判断点 $E$ 是否在此抛物线上，并说明理由；

（3）如果直线 $y = k_{1} x - 1$ 与 $⊙ A$ 相切，请直接写出满足此条件的直线解析式．

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（1）求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

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