如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠C90°，∠ADB

如图，在四边形 $ABCD$ 中， $AD / / BC$ ， $∠ C = 90 °$ ， $∠ ADB = ∠ ABD = \frac{1}{2} ∠ BDC$ ， $DE$ 交 $BC$ 于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $EF ⊥ BD$ ，垂足为 $F$ ，且 $EF = EC$ ．

（1）求证：四边形 $ABED$ 是菱形；

（2）若 $AD = 4$ ，求 $ΔBED$ 的面积．

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已知二次函数 $y = a x^{2} (a \neq 0)$ 的图象过点 $(2, - 1)$ ，点 $P (P$ 与 $O$ 不重合）是图象上的一点，直线 $l$ 过点 $(0, 1)$ 且平行于 $x$ 轴． $PM ⊥ l$ 于点 $M$ ，点 $F (0, - 1)$ ．

（1）求二次函数的解析式；

（2）求证：点 $P$ 在线段 $MF$ 的中垂线上；

（3）设直线 $PF$ 交二次函数的图象于另一点 $Q$ ， $QN ⊥ l$ 于点 $N$ ，线段 $MF$ 的中垂线交 $l$ 于点 $R$ ，求 $\frac{MR}{RN}$ 的值；

（4）试判断点 $R$ 与以线段 $PQ$ 为直径的圆的位置关系．

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如图，已知 $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $AC$ ， $BC$ 是 $⊙ O$ 的弦， $OE / / AC$ 交 $BC$ 于 $E$ ，过点 $B$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $OE$ 的延长线于点 $D$ ，连接 $DC$ 并延长交 $BA$ 的延长线于点 $F$ ．

（1）求证： $DC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $∠ ABC = 30 °$ ， $AB = 8$ ，求线段 $CF$ 的长．

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如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = - x + m$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象交于 $A$ 、 $B$ 两点，已知 $A (2, 4)$

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）求 $B$ 点的坐标；

（3）连接 $AO$ 、 $BO$ ，求 $ΔAOB$ 的面积．

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如图， $▱ ABCD$ 的对角线 $AC$ 、 $BD$ 相交于点 $O$ ， $EF$ 经过 $O$ ，分别交 $AB$ 、 $CD$ 于点 $E$ 、 $F$ ， $EF$ 的延长线交 $CB$ 的延长线于 $M$ ．

（1）求证： $OE = OF$ ；

（2）若 $AD = 4$ ， $AB = 6$ ， $BM = 1$ ，求 $BE$ 的长．

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某超市计划购进甲、乙两种商品，两种商品的进价、售价如下表：

若用360元购进甲种商品的件数与用180元购进乙种商品的件数相同．

（1）求甲、乙两种商品的进价是多少元？

（2）若超市销售甲、乙两种商品共50件，其中销售甲种商品为 $a$ 件 $(a ⩾ 30)$ ，设销售完50件甲、乙两种商品的总利润为 $w$ 元，求 $w$ 与 $a$ 之间的函数关系式，并求出 $w$ 的最小值．

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