在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除

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更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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挑错有奖

在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数 $- -$ “差一数”．

定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”．

例如： $14 \div 5 = 2 \dots 4$ ， $14 \div 3 = 4 \dots 2$ ，所以14是“差一数”；

$19 \div 5 = 3 \dots 4$ ，但 $19 \div 3 = 6 \dots 1$ ，所以19不是“差一数”．

（1）判断49和74是否为“差一数”？请说明理由；

（2）求大于300且小于400的所有“差一数”．

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（1）概念理解：如图2，在四边形 $ABCD$ 中， $AB = AD$ ， $CB = CD$ ，问四边形 $ABCD$ 是垂美四边形吗？请说明理由；

（2）性质探究：如图1，四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 、 $BD$ 交于点 $O$ ， $AC ⊥ BD$ ．试证明： $A B^{2} + C D^{2} = A D^{2} + B C^{2}$ ；

（3）解决问题：如图3，分别以 $Rt Δ ACB$ 的直角边 $AC$ 和斜边 $AB$ 为边向外作正方形 $ACFG$ 和正方形 $ABDE$ ，连接 $CE$ 、 $BG$ 、 $GE$ ．已知 $AC = 4$ ， $AB = 5$ ，求 $GE$ 的长．

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（1）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并写出自变量 $x$ 的取值范围；

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（1）若新坡面坡角为 $α$ ，求坡角 $α$ 度数；

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（3）求 $ΔAOB$ 的面积．

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