如图，在平面直角坐标系中，已知ΔABC三个顶点的坐标分别是A

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，在平面直角坐标系中，已知 $ΔABC$ 三个顶点的坐标分别是 $A (2, 2)$ ， $B (4, 0)$ ， $C (4, - 4)$ ．

（1）请在图中，画出 $ΔABC$ 向左平移6个单位长度后得到的△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

（2）以点 $O$ 为位似中心，将 $ΔABC$ 缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ ，得到△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ ，请在图中 $y$ 轴右侧，画出△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ ，并求出 $∠ A_{2} C_{2} B_{2}$ 的正弦值．

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我们知道，任意一个正整数 $n$ 都可以进行这样的分解： $n = p \times q (p$ ， $q$ 是正整数，且 $p ⩽ q)$ ，在 $n$ 的所有这种分解中，如果 $p$ ， $q$ 两因数之差的绝对值最小，我们就称 $p \times q$ 是 $n$ 的最佳分解．并规定： $F (n) = \frac{p}{q}$ ．例如12可以分解成 $1 \times 12$ ， $2 \times 6$ 或 $3 \times 4$ ，因为 $12 - 1 > 6 - 2 > 4 - 3$ ，所以 $3 \times 4$ 是12的最佳分解，所以 $F (12) = \frac{3}{4}$ ．

（1）如果一个正整数 $a$ 是另外一个正整数 $b$ 的平方，我们称正整数 $a$ 是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数 $m$ ，总有 $F (m) = 1$ ；

（2）如果一个两位正整数 $t$ ， $t = 10 x + y (1 ⩽ x ⩽ y ⩽ 9$ ， $x$ ， $y$ 为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数 $t$ 为"吉祥数"，求所有"吉祥数"中 $F (t)$ 的最大值．

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近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．

（1）从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了 $60 %$ ．某市民在今年5月20日购买2.5千克猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？

（2）5月20日，猪肉价格为每千克40元．5月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克40元的基础上下调 $a %$ 出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克40元的情况下，该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了 $a %$ ，且储备猪肉的销量占总销量的 $\frac{3}{4}$ ，两种猪肉销售的总金额比5月20日提高了 $\frac{1}{10} a %$ ，求 $a$ 的值．

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如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的 $A$ ， $B$ 两点，与 $x$ 轴交于点 $C$ ，与 $y$ 轴交于点 $D$ ，点 $B$ 的坐标是 $(m, - 4)$ ，连接 $AO$ ， $AO = 5$ ， $\sin ∠ AOC = \frac{3}{5}$ ．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）连接 $OB$ ，求 $ΔAOB$ 的面积．

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某学校组建了书法、音乐、美术、舞蹈、演讲五个社团，全校1600名学生每人都参加且只参加了其中一个社团的活动．校团委从这1600名学生中随机选取部分学生进行了参加活动情况的调查，并将调查结果制成了如图不完整的统计图．请根据统计图完成下列问题：

参加本次调查有　　名学生，根据调查数据分析，全校约有　　名学生参加了音乐社团；请你补全条形统计图．

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如图，在 $ΔABC$ 和 $ΔCED$ 中， $AB / / CD$ ， $AB = CE$ ， $AC = CD$ ．求证： $∠ B = ∠ E$ ．

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