如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC，过

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $CD ⊥ AB$ ，垂足为 $H$ ，连接 $AC$ ，过 $\hat{BD}$ 上一点 $E$ 作 $EG / / AC$ 交 $CD$ 的延长线于点 $G$ ，连接 $AE$ 交 $CD$ 于点 $F$ ，且 $EG = FG$ ，连接 $CE$ ．

（1）求证： $ΔECF ∽ ΔGCE$ ；

（2）求证： $EG$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（3）延长 $AB$ 交 $GE$ 的延长线于点 $M$ ，若 $\tan G = \frac{3}{4}$ ， $AH = 3 \sqrt{3}$ ，求 $EM$ 的值．

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如图，将 $ΔABC$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $60 °$ 得到 $ΔDBE$ ，点 $C$ 的对应点 $E$ 恰好落在 $AB$ 的延长线上，连接 $AD$ ．

（1）求证： $BC / / AD$ ；

（2）若 $AB = 4$ ， $BC = 1$ ，求 $A$ ， $C$ 两点旋转所经过的路径长之和．

题型：未知
难度：未知

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阅读下列"问题"与"提示"后，将解方程的过程补充完整，求出 $x$ 的值．

【问题】解方程： $x^{2} + 2 x + 4 \sqrt{x^{2} + 2 x} - 5 = 0$ ．

【提示】可以用"换元法"解方程．

解：设 $\sqrt{x^{2} + 2 x} = t (t ⩾ 0)$ ，则有 $x^{2} + 2 x = t^{2}$

原方程可化为： $t^{2} + 4 t - 5 = 0$

题型：未知
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先化简，再求值： $(1 - \frac{1}{a}) \div \frac{a^{2} - 1}{a^{2} + 2 a + 1}$ ，其中 $a$ 是不等式组 $\{\begin{matrix} a - 2 ⩾ 2 - a① \\ 2 a - 1 < a + 3 ② \end{matrix}$ 的最小整数解．

题型：未知
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如图，抛物线 $L : y = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{5}{4} x - 3$ 与 $x$ 轴正半轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ．

（1）求直线 $AB$ 的解析式及抛物线顶点坐标；

（2）如图1，点 $P$ 为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点 $P$ 作 $PC ⊥ x$ 轴，垂足为 $C$ ， $PC$ 交 $AB$ 于点 $D$ ，求 $PD + BD$ 的最大值，并求出此时点 $P$ 的坐标；

（3）如图2，将抛物线 $L : y = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{5}{4} x - 3$ 向右平移得到抛物线 $L^{'}$ ，直线 $AB$ 与抛物线 $L^{'}$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，若点 $A$ 是线段 $MN$ 的中点，求抛物线 $L^{'}$ 的解析式．

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2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按30天计）的第 $x$ 天 $(x$ 为正整数）的销售价格 $p$ （元 $/$ 千克）关于 $x$ 的函数关系式为 $p = \{\begin{matrix} \frac{2}{5} x + 4 (0 < x ⩽ 20) \\ - \frac{1}{5} x + 12 (20 < x ⩽ 30) \end{matrix}$ ，销售量 $y$ （千克）与 $x$ 之间的关系如图所示．

（1）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并写出 $x$ 的取值范围；

（2）当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？（销售额 $=$ 销售量 $\times$ 销售价格）

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