如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E．

（1）求证：AC平分 $∠ DAB$ ；

（2）连接BE交AC于点F，若 $\cos ∠ CAD = \frac{4}{5}$ ，求 $\frac{AF}{FC}$ 的值．

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太原武宿国际机场简称"太原机场"，是山西省开通的首条定期国际客运航线，游客从太原某景区乘车到太原机场，有两条路线可供选择，路线一：走迎宾路经太榆路全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二：走太原环城高速全程是30千米，平均速度是路线一的 $\frac{5}{3}$ 倍，因此到达太原机场的时间比走路线一少用7分钟，求走路线一到达太原机场需要多长时间．

题型：未知
难度：未知

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2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．

题型：未知
难度：未知

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（1）计算： ${(- 1)}^{4} \times | - 8 | + {(- 2)}^{3} \times {(\frac{1}{2})}^{2}$ ．

（2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．

$\frac{2 x - 1}{3} > \frac{3 x - 2}{2} - 1$ ．

解： $2 (2 x - 1) > 3 (3 x - 2) - 6 \dots \dots$ 第一步

$4 x - 2 > 9 x - 6 - 6 \dots \dots$ 第二步

$4 x - 9 x > - 6 - 6 + 2 \dots \dots$ 第三步

$- 5 x > - 10 \dots \dots$ 第四步

$x > 2 \dots \dots$ 第五步

任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据　　（运算律）进行变形的；

②第　　步开始出现错误，这一步错误的原因是　　；

任务二：请直接写出该不等式的正确解集．

题型：未知
难度：未知

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如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 3$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，抛物线 $y = \frac{1}{3} x^{2} + bx + c$ 经过坐标原点和点 $A$ ，顶点为点 $M$ ．

（1）求抛物线的关系式及点 $M$ 的坐标；

（2）点 $E$ 是直线 $AB$ 下方的抛物线上一动点，连接 $EB$ ， $EA$ ，当 $ΔEAB$ 的面积等于 $\frac{25}{2}$ 时，求 $E$ 点的坐标；

（3）将直线 $AB$ 向下平移，得到过点 $M$ 的直线 $y = mx + n$ ，且与 $x$ 轴负半轴交于点 $C$ ，取点 $D (2, 0)$ ，连接 $DM$ ，求证： $∠ ADM - ∠ ACM = 45 °$ ．

题型：未知
难度：未知

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如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

（1）概念理解：如图2，在四边形 $ABCD$ 中， $AB = AD$ ， $CB = CD$ ，问四边形 $ABCD$ 是垂美四边形吗？请说明理由；

（2）性质探究：如图1，垂美四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ ， $BD$ 交于点 $O$ ．猜想： $A B^{2} + C D^{2}$ 与 $A D^{2} + B C^{2}$ 有什么关系？并证明你的猜想．

（3）解决问题：如图3，分别以 $Rt Δ ACB$ 的直角边 $AC$ 和斜边 $AB$ 为边向外作正方形 $ACFG$ 和正方形 $ABDE$ ，连结 $CE$ ， $BG$ ， $GE$ ．已知 $AC = 4$ ， $AB = 5$ ，求 $GE$ 的长．

题型：未知
难度：未知

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