如图，已知正方形$\mathit{ABCD}$的边长为$a$，$E$为$\mathit{CD}$边上一点（不与端点重合），将$\mathit{\Delta ADE}$沿$\mathit{AE}$对折至$\mathit{\Delta AFE}$，延长$\mathit{EF}$交边$\mathit{BC}$于点$G$，连接$\mathit{AG}$，$\mathit{CF}$．

给出下列判断：

①$\angle \mathit{EAG}=45°$；

②若$\mathit{DE}=\frac{1}{3}a$，则$\mathit{AG}//\mathit{CF}$；

③若$E$为$\mathit{CD}$的中点，则$\mathit{\Delta GFC}$的面积为$\frac{1}{10}{a}^2$；

④若$\mathit{CF}=\mathit{FG}$，则$\mathit{DE}=(\sqrt{2}-1)a$；

⑤$\mathit{BG}·\mathit{DE}+\mathit{AF}·\mathit{GE}=a^2$．

其中正确的是　　．（写出所有正确判断的序号）