如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DECF

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如图，正方形 $ABCD$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在 $AD$ ， $CD$ 上，且 $DE = CF$ ， $AF$ 与 $BE$ 相交于点 $G$ ．

（1）求证： $BE = AF$ ；

（2）若 $AB = 4$ ， $DE = 1$ ，求 $AG$ 的长．

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在平面直角坐标系中，设二次函数 $y_{1} = (x + a) (x - a - 1)$ ，其中 $a \neq 0$ ．

（1）若函数 $y_{1}$ 的图象经过点 $(1, - 2)$ ，求函数 $y_{1}$ 的表达式；

（2）若一次函数 $y_{2} = ax + b$ 的图象与 $y_{1}$ 的图象经过 $x$ 轴上同一点，探究实数 $a$ ， $b$ 满足的关系式；

（3）已知点 $P (x_{0}$ ， $m)$ 和 $Q (1, n)$ 在函数 $y_{1}$ 的图象上，若 $m < n$ ，求 $x_{0}$ 的取值范围．

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（1）写出线段 $AG$ ， $GE$ ， $GF$ 长度之间的数量关系，并说明理由；

（2）若正方形 $ABCD$ 的边长为1， $∠ AGF = 105 °$ ，求线段 $BG$ 的长．

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（1）设矩形的相邻两边长分别为 $x$ ， $y$ ．

①求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式；

②当 $y ⩾ 3$ 时，求 $x$ 的取值范围；

（2）圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？

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如图，在锐角三角形 $ABC$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别在边 $AC$ ， $AB$ 上， $AG ⊥ BC$ 于点 $G$ ， $AF ⊥ DE$ 于点 $F$ ， $∠ EAF = ∠ GAC$ ．

（1）求证： $ΔADE ∽ ΔABC$ ；

（2）若 $AD = 3$ ， $AB = 5$ ，求 $\frac{AF}{AG}$ 的值．

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在平面直角坐标系中，一次函数 $y = kx + b (k$ ， $b$ 都是常数，且 $k \neq 0)$ 的图象经过点 $(1, 0)$ 和 $(0, 2)$ ．

（1）当 $- 2 < x ⩽ 3$ 时，求 $y$ 的取值范围；

（2）已知点 $P (m, n)$ 在该函数的图象上，且 $m - n = 4$ ，求点 $P$ 的坐标．

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