已知抛物线yax232x4的对称轴是直线x3，与x轴相交于A

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度较难
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已知抛物线 $y = a x^{2} + \frac{3}{2} x + 4$ 的对称轴是直线 $x = 3$ ，与 $x$ 轴相交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $B$ 在点 $A$ 右侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求抛物线的解析式和 $A$ ， $B$ 两点的坐标；

（2）如图1，若点 $P$ 是抛物线上 $B$ 、 $C$ 两点之间的一个动点（不与 $B$ 、 $C$ 重合），是否存在点 $P$ ，使四边形 $PBOC$ 的面积最大？若存在，求点 $P$ 的坐标及四边形 $PBOC$ 面积的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，若点 $M$ 是抛物线上任意一点，过点 $M$ 作 $y$ 轴的平行线，交直线 $BC$ 于点 $N$ ，当 $MN = 3$ 时，求点 $M$ 的坐标．

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（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点 $B$ 的横坐标与纵坐标相等， $∠ ABC = ∠ OAP$ ，且点 $C$ 位于 $x$ 轴上方，求点 $C$ 的坐标；

（3）若点 $B$ 的横坐标为 $t$ ， $∠ ABC = 90 °$ ，请用含 $t$ 的代数式表示点 $C$ 的横坐标，并求出当 $t < 0$ 时，点 $C$ 的横坐标的取值范围．

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（1）如图1，当点 $A'$ 落在 $AC$ 的延长线上时，求 $AA'$ 的长；

（2）如图2，当点 $C'$ 落在 $AB$ 的延长线上时，连接 $CC'$ ，交 $A' B$ 于点 $M$ ，求 $BM$ 的长；

（3）如图3，连接 $AA'$ ， $CC'$ ，直线 $CC'$ 交 $AA'$ 于点 $D$ ，点 $E$ 为 $AC$ 的中点，连接 $DE$ ．在旋转过程中， $DE$ 是否存在最小值？若存在，求出 $DE$ 的最小值；若不存在，请说明理由．

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（1）求每个 $B$ 型点位每天处理生活垃圾的吨数；

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