在“我为祖国点赞“征文活动中,学校计划对获得一,二等奖的学生分别奖励一支钢笔,一本笔记本.已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元,购买4支钢笔和5个笔记本共70元.
(1)钢笔、笔记本的单价分别为多少元?
(2)经与商家协商,购买钢笔超过30支时,每增加1支,单价降低0.1元;超过50支,均按购买50支的单价售,笔记本一律按原价销售.学校计划奖励一、二等奖学生共计100人,其中一等奖的人数不少于30人,且不超过60人,这次奖励一等奖学生多少人时,购买奖品总金额最少,最少为多少元?
(本小题满分12分) 已知函数,,数列的前项和为,点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式; (2)令,证明:.
本小题满分12分)已知集合,集合,函数的定义域为集合B. (1)若,求集合; (2)命题,命题,若是的必要条件,求实数的取值范围.
(本小题满分14分)已知函数 (1)求函数的定义域,并证明在定义域上是奇函数; (2)对于,恒成立,求实数的取值范围; (3)当时,试比较与的大小关系.
(本小题满分14分)据气象中心的观察和预测:发生于地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速度与时间的函数图像如图所示,过线段上一点作横轴的垂线,则梯形在直线左侧部分的面积即为内沙尘暴所经过的路程. (1)当时,求的值; (2)将随变化的规律用数学关系式表示出来; (3)若城位于地正南方向,且距地为,试判断这场沙尘暴是否会侵袭到城.如果会,在沙尘暴发生多长时间后它将侵袭到城;如果不会,请说明理由.
(本小题满分13分)如图,、是以为直径的圆上两点,,,是上一点,且,将圆沿直径折起,使点在平面的射影在上,已知. (1)求证:平面; (2)求证:平面; (3)求三棱锥的体积.