已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB80°，C为

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更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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挑错有奖

已知 $PA$ ， $PB$ 分别与 $⊙ O$ 相切于点 $A$ ， $B$ ， $∠ APB = 80 °$ ， $C$ 为 $⊙ O$ 上一点．

（Ⅰ）如图①，求 $∠ ACB$ 的大小；

（Ⅱ）如图②， $AE$ 为 $⊙ O$ 的直径， $AE$ 与 $BC$ 相交于点 $D$ ．若 $AB = AD$ ，求 $∠ EAC$ 的大小．

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如图①，直线 $y ＝ \frac{4}{3} x + 4$ 交于x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线F₁交x轴于另一点B（1，0）．

（1）求抛物线F₁所表示的二次函数的表达式；

（2）若点M是抛物线F₁位于第二象限图象上的一点，设四边形MAOC和△BOC的面积分别为S_四边形_MAOC和S_△_BOC，记 $S ＝ S_{四边形 MAOC} ﹣ S_{△ BOC}$ ，求S最大时点M的坐标及S的最大值；

（3）如图②，将抛物线F₁沿y轴翻折并“复制”得到抛物线F₂，点A、B与（2）中所求的点M的对应点分别为A′、B′、M′，过点M′作M′E⊥x轴于点E，交直线A′C于点D，在x轴上是否存在点P，使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

题型：未知
难度：未知

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数学活动﹣旋转变换

（1）如图①，在△ABC中， $∠ ABC ＝ 130 °$ ，将△ABC绕点C逆时针旋转50°得到△A′B′C，连接BB′，求∠A′B′B的大小；

（2）如图②，在△ABC中， $∠ ABC ＝ 150 °$ ， $AB ＝ 3$ ， $BC ＝ 5$ ，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，连接BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆．

（Ⅰ）猜想：直线BB′与⊙A′的位置关系，并证明你的结论；

（Ⅱ）连接A′B，求线段A′B的长度；

（3）如图③，在△ABC中， $∠ ABC ＝ α （ 90 ° ＜ α ＜ 180 ° ）$ ， $AB ＝ m$ ， $BC ＝ n$ ，将△ABC绕点C逆时针旋转2β角度 $（ 0 ° ＜ 2 β ＜ 180 ° ）$ 得到△A′B′C，连接A′B和BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆，问：角α与角β满足什么条件时，直线BB′与⊙A′相切，请说明理由，并求此条件下线段A′B的长度（结果用角α或角β的三角函数及字母m、n所组成的式子表示）

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已知关于x的方程 $x^{2} ﹣（ 2 m + 1 ） x + m （ m + 1 ）＝ 0$ ．

（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；

（2）已知方程的一个根为 $x ＝ 0$ ，求代数式 $（ 2 m ﹣ 1 ）^{2} + （ 3 + m ）（ 3 ﹣ m ） + 7 m ﹣ 5$ 的值（要求先化简再求值）．

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某学校环保志愿者协会对该市城区的空气质量进行调查，从全年365天中随机抽取了80天的空气质量指数（AQI）数据，绘制出三幅不完整的统计图表．请根据图表中提供的信息解答下列问题：

AQI指数	质量等级	天数（天）
$0 ﹣ 50$	优	m
$51 ﹣ 100$	良	44
$101 ﹣ 150$	轻度污染	n
$151 ﹣ 200$	中度污染	4
$201 ﹣ 300$	重度污染	2
300以上	严重污染	2

（1 ）统计表中m＝　　，n＝　　．扇形统计图中，空气质量等级为“良”的天数占　　%；

（2）补全条形统计图，并通过计算估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共多少天？

（3）据调查，严重污染的2天发生在春节期间，燃放烟花爆竹成为空气污染的一个重要原因，据此，请你提出一条合理化建议．

题型：未知
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我市某学校开展“远足君山，磨砺意志，保护江豚，爱鸟护鸟”为主题的远足活动．已知学校与君山岛相距24千米，远足服务人员骑自行车，学生步行，服务人员骑自行车的平均速度是学生步行平均速度的2.5倍，服务人员与学生同时从学校出发，到达君山岛时，服务人员所花时间比学生少用了3.6小时，求学生步行的平均速度是多少千米/小时．

题型：未知
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