一个玩具盘由一个直径为米的半圆和一个矩形构成,米,如图所示.小球从点出发以的速度沿半圆轨道滚到某点处后,经弹射器以的速度沿与点切线垂直的方向弹射到落袋区内,落点记为.设弧度,小球从到所需时间为.(1)试将表示为的函数,并写出定义域;(2)求时间最短时的值.
(本小题满分8分)已知函数. (I)求的最小正周期和单调递增区间; (II)若锐角满足,求角的值。
(本小题满分12分) 设函数f (x)=ln(x+a)+x2. (Ⅰ)若当x=1时,f (x)取得极值,求a的值,并讨论f (x)的单调性; (Ⅱ)若f (x)存在极值,求a的取值范围,并证明所有极值之和大于ln.
(本小题满分12分) 设数列为等差数列,且,,数列的前项和为,且; (Ⅰ)求数列,的通项公式; (Ⅱ)若,为数列的前项和. 求证:.
(本小题满分12分) 如图,在正三棱柱. (I)若,求点到平面的距离; (Ⅱ)当为何值时,二面角的正弦值为?
(本小题满分12分) 将如下6个函数:,分别写在6张小卡片上,放入盒中. (Ⅰ)现从盒子中任取2张卡片,将卡片上的函数相加得到一个新函数,求所得函数是偶函数的概率; (Ⅱ)现从盒子中进行逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张记有奇函数卡片则停止抽取,否则继续进行,求抽取次数的分布列和数学期望.