设，是否存在关于自然数n的函数，使等式对于的一切自然数都成立

设，是否存在关于自然数n的函数，使等式对于的一切自然数都成立？并证明你的结论．

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如图，已知F是抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点， $M$ 是抛物线的准线与x轴的交点，且 $|M F| = 2$ ，

（1）求抛物线的方程；

（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线 $MA,$ $M B,$ $A B$ ， $x$ 轴依次交于点P，Q，R，N，且 ${|R N|}^{2} = |P N| \cdot |Q N|$ ，求直线 $L$ 在 $x$ 轴上截距的范围。

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已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = - \frac{9}{4}$ ，且 $4 S_{n + 1} = 3 S_{n} - 9$ .

（1）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项；

（2）设数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $3 b_{n} + (n - 4) a_{n} = 0$ ，记 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，若 $T_{n} \leq λ b_{n}$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立，求 $λ$ 的范围.

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如图，在四棱锥 $P - ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 是平行四边形， $∠ ABC = 120 °, AB = 1, BC = 4, PA = \sqrt{15}$ ，M，N分别为 $BC, PC$ 的中点， $PD ⊥ DC, PM ⊥ MD$ .

（1）证明： $AB ⊥ PM$ ；

（2）求直线 $AN$ 与平面 $PDM$ 所成角的正弦值.

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设函数 $f (x) = \sin x + \cos x (x \in R)$ .

（1）求函数 $y = {[f (x + \frac{π}{2})]}^{2}$ 的最小正周期；

（2）求函数 $y = f (x) f (x - \frac{π}{4})$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值.

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已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} - a x^{2} + b$ ．

（1）讨论 $f (x)$ 的单调性；

（2）从下面两个条件中选一个，证明： $f (x)$ 有一个零点

① $\frac{1}{2} < a \leq \frac{e^{2}}{2}, b > 2 a$ ；

② $0 < a < \frac{1}{2}, b \leq 2 a$ ．

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