已知函数且，其中、（1）求m的值；（2）求函数的单调增区间．

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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已知函数且，其中、
（1）求m的值；
（2）求函数的单调增区间．

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若函数 $h (x)$ 满足
（1） $h (0) = 1, h (1) = 0$ ；
（2）对任意 $a \in [0, 1]$ ，有 $h (h (a)) = a$ ；
（3）在（0,1）上单调递减。则称 $h (x)$ 为补函数。已知函数 $h (x) = (\frac{1 - x^{p}}{1 + λ x^{p}})^{\frac{1}{p}} (λ > - 1, p > 0)$ .

（1）判函数 $h (x)$ 是否为补函数，并证明你的结论；
（2）若存在 $m \in [0, 1]$ ，使得 $h (m) = m$ ，若 $m$ 是函数 $h (x)$ 的中介元，记 $p = \frac{1}{n} (n \in N^{*})$ 时 $h (x)$ 的中介元为 $x_{n}$ ，且 $S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} x_{i}$ ，若对任意的 $n \in N_{+}$ ，都有 $S_{n} < \frac{1}{2}$ ,求 $λ$ 的取值范围；
（3）当 $λ = 0$ ， $x \in (0, 1)$ 时，函数 $y = h (x)$ 的图像总在直线 $y = 1 - x$ 的上方，求P的取值范围。

题型：未知
难度：未知

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已知三点 $O (0, 0), A (- 2, 1), B (2, 1)$ ，曲线 $C$ 上任意一点 $M (x, y)$ 满足 $\overset{⇀}{M A} + \overset{⇀}{M B} = \overset{⇀}{O M} \cdot (\overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O B}) + 2$ .
（1）求曲线 $C$ 的方程；
（2）动点 $Q (x_{0}, y_{0}) (- 2 ＜ x_{0} ＜ 2)$ 在曲线 $C$ 上，曲线 $C$ 在点 $Q$ 处的切线为 $1$ ，问：是否存在定点 $P (0, t) (t < 0)$ ，使得 $1$ 与 $P A, P B$ 都不相交，交点分别为 $D, E$ ，且 $△ Q A B$ 与 $△ P D E$ 的面积之比是常数？若存在，求 $t$ 的值。若不存在，说明理由。

题型：未知
难度：未知

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在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知 $A B = A C = A A_{1} = \sqrt{5}$ ， $B C = 4$ ，在 $A_{1}$ 在底面 $A B C$ 的投影是线段 $B C$ 的中点 $O$ 。

（1）证明在侧棱 $A A_{1}$ 上存在一点 $E$ ，使得 $O E ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ，并求出 $A E$ 的长；
（2）求平面 $A_{1} B_{1} C$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 夹角的余弦值。

题型：未知
难度：未知

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如图，从 $A_{1}$ （1,0,0）， $A_{2}$ （2,0,0）， $B_{1}$ （0，2，0）， $B_{2}$ （0,2,0）， $C_{1}$ （0,0,1）， $C_{2}$ （0,0,2）这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点 $O$ 两两相连构成一个"立体"，记该"立体"的体积为随机变量 $V$ （如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时"立体"的体积 $V = 0$ ）。

（1）求 $V = 0$ 的概率；
（2）求 $V$ 的分布列及数学期望。

题型：未知
难度：未知

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在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ .已知， $A = \frac{π}{4}, b \sin (\frac{π}{4} + C) - c \sin (\frac{π}{4} + B) = a$ .
（1）求证： $B - C = \frac{π}{2}$ ;

（2）若 $a = \sqrt{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

题型：未知
难度：未知

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