某中学为丰富教工生活，国庆节举办教工趣味投篮比赛，有
两个定点投篮位置，在
点投中一球得2分，在
点投中一球得3分。某规则是：按先后再的顺序投篮，教师甲在和点投中的概率分别是
和
，且在两点投中与否相互独立。
（1）若教师甲投篮三次，试求他投篮得分
的分布列和数学期望；
（2）若教师乙与教师甲在投中的概率相同，两人按规则各投三次，求甲胜乙的概率。
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是首项为a，公差为d的等差数列
，
是其前n项的和。记
，其中c为实数。
，且
成等比数列，证明：
；
是等差数列，证明：
的等比数列
不是递减数列，其前n项和为
，且
成等差数列。
，求数列
的最大项的值与最小项的值。某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件；若做广告宣传，广告费为n千元比广告费为
千元时多卖出
件。
（1）试写出销售量
与n的函数关系式；
（2）当
时，厂家应该生产多少件产品，做几千元的广告，才能获利最大？
满足
，且
是方程
的两根。
的前n项和
。
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