某车间生产一种仪器的固定成本是元，每生产一台该仪器需要增加投

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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某车间生产一种仪器的固定成本是元，每生产一台该仪器需要增加投入元，已知总收入满足函数：，其中是仪器的月产量．（利润＝总收入－总成本）．
（Ⅰ）将利润表示为月产量的函数；
（Ⅱ）当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润是多少元？

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已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} + a_{2} = 10, a_{4} - a_{3} = 2$ ．
（Ⅰ）求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{2} = a_{3}, b_{3} = a_{7}$ ，问： $b_{6}$ 与数列 $\{a_{n}\}$ 的第几项相等？

题型：未知
难度：未知

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已知函数 $f (x) = \sin x - 2 \sqrt{3} \sin^{2} \frac{x}{2}$ ．
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的最小正周期；
（Ⅱ）求 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{2 π}{3}]$ 上的最小值．

题型：未知
难度：未知

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已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足: $a_{1} \in N^{*}, a_{1} \leq 36$ ,且 $a_{n + 1} = \{\begin{cases} 2 a_{n} & a_{n} ⩽ 18 \\ 2 a_{n} - 36 & a_{n} > 18 \end{cases}$ .记集合 $M = \{a_{n} n \in N^{*}\}$ ．
（Ⅰ）若 $a_{1} = 6$ ,写出集合 $M$ 的所有元素；
（Ⅱ）若集合 $M$ 存在一个元素是3的倍数,证明: $M$ 的所有元素都是3的倍数；
（Ⅲ）求集合 $M$ 的元素个数的最大值．

题型：未知
难度：未知

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已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $P (0, 1)$ 和点 $A (m, n)$ $(m \neq 0)$ 都在椭圆 $C$ 上，直线 $P A$ 交 $x$ 轴于点 $M$ ．
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程，并求点 $M$ 的坐标（用 $m$ ， $n$ 表示）；
（Ⅱ）设 $O$ 为原点，点 $B$ 与点 $A$ 关于 $x$ 轴对称，直线 $P B$ 交 $x$ 轴于点 $N$ ．问： $y$ 轴上是否存在点 $Q$ ，使得
$∠ O Q M = ∠ O N Q$ ？若存在，求点 $Q$ 的坐标；若不存在，说明理由．

题型：未知
难度：未知

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已知函数 $f (x) = \ln \frac{1 + x}{1 - x}$ ．
（Ⅰ）求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；
（Ⅱ）求证：当 $x \in (0, 1)$ 时， $f (x) > 2 (x + \frac{x^{3}}{3})$ ；
（Ⅲ）设实数 $k$ 使得 $f (x) > k (x + \frac{x^{3}}{3})$ 对 $x \in (0, 1)$ 恒成立，求 $k$ 的最大值．

题型：未知
难度：未知

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