设和是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有2个不同的零点

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更新 2022-09-03
科目数学
题型填空题
难度中等
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挑错有奖

江苏省盱眙、洪泽等校高一上学期期中联考数学试卷

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设和是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有2个不同的零点，则称和在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”．若和是上的“关联函数”，则实数的取值范围为．

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（Ⅰ）求 $f (x)$ 的单调区间；

（Ⅱ）当 $x \in [\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ 时，证明 $f (x) + g (x) (\frac{π}{2} - x) \geq 0$ ；

（Ⅲ）设 $x_{n}$ 为函数 $u (x) = f (x) - 1$ 在区间 $(2 nπ + \frac{π}{4}, 2 nπ + \frac{π}{2})$ 内的零点，其中 $n \in N$ ，证明 $2 nπ + \frac{π}{2} - x_{n} < \frac{e^{- 2 nπ}}{\sin x_{0} - \cos x_{0}}$ ．

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（Ⅰ）求 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

（Ⅱ）设数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{1} = 1, c_{n} = \{\begin{matrix} 1, 2^{k} < n < 2^{k + 1}, \\ b_{k}, n = 2^{k}, \end{matrix}$ 其中 $k \in N^{*}$ ．

（i）求数列 $\{a_{2^{n}} (c_{2^{n}} - 1)\}$ 的通项公式；

（ii）求 $\sum_{i = 1}^{2^{n}} a_{i} c_{i} (n \in N^{*})$ ．

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（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点 $P$ 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 $M$ 为直线 $PB$ 与 $x$ 轴的交点，点 $N$ 在 $y$ 轴的负半轴上．若 $| ON | = | OF |$ （ $O$ 为原点），且 $OP ⊥ MN$ ，求直线 $PB$ 的斜率．

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