已知函数．（1）求的值；（2）当（其中，且是常数）时，是否存

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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已知函数．
（1）求的值；
（2）当（其中，且是常数）时，是否存在最小值？如果存在，求出最小值；
如果不存在，请说明理由．

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设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{4} = 4 S_{2}$ ， $a_{2 n} = 2 a_{n} + 1$ .
（Ⅰ）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ , $T_{n} + \frac{a_{n} + 1}{2^{n}} = λ$ ( $λ$ 为常数)，令 $c_{n} = b_{2 n} (n \in N^{*})$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $R_{n}$ .

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甲 $、$ 乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是 $\frac{1}{2}$ 外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是 $\frac{2}{3}$ .假设各局比赛结果相互独立.
（Ⅰ）分别求甲队以 $3 : 0, 3 : 1, 3 : 2$ 胜利的概率；
（Ⅱ）若比赛结果为求 $3 : 0$ 或 $3 : 1$ ,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3:2,则胜利方得2分 $、$ 对方得1分.求乙队得分 $X$ 的分布列及数学期望.

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如图所示，在三棱锥 $∆ P A Q$ 中， $P B ⊥$ 平面 $A B Q$ ， $B A = B Q = B P, D, C, E, F$ 分别是 $A Q, B Q, A P, B P$ 的中点， $A Q = 2 B D, P D$ 与 $E Q$ 交于 $G, P C$ 与 $F Q$ 交于点 $H$ ，连接 $G H$ .

（Ⅰ）求证： $A B ▱ G H$ ；
（Ⅱ）求二面角 $D - G H - E$ 的余弦值.

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设 $∆ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ,且 $a + c = 6, b = 2, \cos B = \frac{7}{9}$ .

（Ⅰ）求 $a, c$ 的值；
（Ⅱ）求 $\sin (A - B)$ 的值.

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设 $a, b, c$ 均为正数，且 $a + b + c = 1$ ，证明：
（Ⅰ） $a b + b c + a c \leq \frac{1}{3}$ ；
（Ⅱ） $\frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{2}}{c} + \frac{c^{2}}{a} \geq 1$

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