在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2，E为BC的中点，以OE为直径的⊙ O′交x轴于D点，过点D作DF⊥AE于F．
（1）求OA，OC的长；
（2）求证：DF为⊙ O′的切线；
（3）小明在解答本题时，发现△AOE是等腰三角形．由此，他断定：“直线BC上一定存在除点E以外的点P，使△AOP也是等腰三角形，且点P一定在⊙O′外”．你同意他的看法吗？请充分说明理由．
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（1）如图①，点 在 上，点 在 上， ， ．求证： ．
（2）如图②， 为 上一点，按以下步骤作图：
①连接 ；
②以点 为圆心， 长为半径作弧，交 于点 ；
③在射线 上截取 ；
④连接 ．
若 ，求 的半径．
如图①，要在一条笔直的路边上建一个燃气站，向
同侧的
、
两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．
（1）如图②，作出点关于
的对称点
，线段
与直线
的交点
的位置即为所求，即在点
处建燃气站，所得路线
是最短的．
为了证明点的位置即为所求，不妨在直线1上另外任取一点
，连接
、
，证明
．请完成这个证明．
（2）如果在、
两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）．
①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示；
②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．
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