如图，正方体中，是线段上一点．（1）证明：平面；（2）若二面

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，正方体中，是线段上一点．

（1）证明：平面；
（2）若二面角的余弦值为，判断点在线段上位置，并说明理由．

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已知数列 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} - a_{n} = 2 (b_{n + 1} - b_{n}), n \in N^{*}$ .
（1）若 $b_{n} = 3 n + 5$ ，且 $a_{1} = 1$ ，求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）设 $\{a_{n}\}$ 的第 $n_{0}$ 项是最大项，即 $a_{n_{0}} \geq a_{n} (n \in N^{*})$ ，求证：数列 $\{b_{n}\}$ 的第 $n_{0}$ 项是最大项；
（3）设 $a_{1} = 3 λ < 0, b_{n} = λ^{n} (n \in N^{*})$ ，求 $λ$ 的取值范围，使得对任意 $m, n \in N^{*}, a_{n} \neq 0$ ，且 $\frac{a_{m}}{a_{n}} \in (\frac{1}{6}, 6)$ .

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难度：未知

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已知椭圆 $x^{2} + 2 y^{2} = 1$ ，过原点的两条直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 分别于椭圆交于 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 、 $D$ ，设 $△ A O C$ 的面积为 $S$ .
（1）设 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $C (x_{1}, y_{1})$ ，用 $A$ 、 $C$ 的坐标表示点 $C$ 到直线 $l_{1}$ 的距离，并证明 $S = 2 |x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}|$ ；
（2）设 $l_{1 : y = k x}$ ， $C (\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ ， $S = \frac{1}{3}$ ，求 $k$ 的值；
（3）设 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的斜率之积为 $m$ ，求 $m$ 的值，使得无论 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 如何变动，面积 $S$ 保持不变.

题型：未知
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如图， $A, B, C$ 三地有直道相通， $A B = 5$ 千米， $A C = 3$ 千米， $B C = 4$ 千米.现甲、乙两警员同时从 $A$ 地出发匀速前往 $B$ 地，经过 $t$ 小时，他们之间的距离为 $f (t)$ （单位：千米）.甲的路线是 $A B$ ，速度为5千米/小时，乙的路线是 $A C B$ ，速度为8千米/小时.乙到达 $B$ 地后原地等待.设 $t = t_{1}$ 时乙到达 $C$ 地.

（1）求 $t_{1}$ 与 $f (t_{1})$ 的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当 $t_{1} \leq t \leq 1$ 时，求 $f (t)$ 的表达式，并判断 $f (t)$ 在 $[t_{1}, 1]$ 上得最大值是否超过3？说明理由.

题型：未知
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已知函数 $f (x) = a x^{2} + \frac{1}{x}$ ，其中 $a$ 为实数.
（1）根据 $a$ 的不同取值，判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并说明理由；
（2）若 $a \in (1, 3)$ ，判断函数 $f (x)$ 在 $[1, 2]$ 上的单调性，并说明理由.

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如图，圆锥的顶点为 $P$ ，底面的一条直径为 $A B$ ， $C$ 为半圆弧 $A B$ 的中点， $E$ 为劣弧 $C B$ 的中点.已知 $P O = 2, O A = 1$ ,求三棱锥 $P - A O C$ 的体积，并求异面直线 $P A$ 与 $O E$ 所成角的大小.

题型：未知
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