(本小题满分13分)设函数,.已知曲线 在点处的切线与直线平行. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)是否存在自然数,使得方程在内存在唯一的根?如果存在,求出;如果不存在,请说明理由; (Ⅲ)设函数(表示,中的较小值),求的最大值.
已知函数.(Ⅰ)若,求在点处的切线方程;(Ⅱ)求函数的极值点;(Ⅲ)若恒成立,求的取值范围.
数列、的每一项都是正数,,,且、、成等差数列,、、成等比数列,.(Ⅰ)求、的值;(Ⅱ)求数列、的通项公式;(Ⅲ)证明:对一切正整数,有.
如图所示,已知椭圆的两个焦点分别为、,且到直线的距离等于椭圆的短轴长.(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 若圆的圆心为(),且经过、,是椭圆上的动点且在圆外,过作圆的切线,切点为,当的最大值为时,求的值.
如图1,矩形中,,,、分别为、边上的点,且,,将沿折起至位置(如图2所示),连结、、,其中.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
佛山某中学高三(1)班排球队和篮球队各有名同学,现测得排球队人的身高(单位:)分别是:、、、、、、、、、,篮球队人的身高(单位:)分别是:、、、、、、、、、.(Ⅰ) 请把两队身高数据记录在如图所示的茎叶图中,并指出哪个队的身高数据方差较小(无需计算);(Ⅱ) 利用简单随机抽样的方法,分别在两支球队身高超过的队员中各抽取一人做代表,设抽取的两人中身高超过的人数为,求的分布列和数学期望.