如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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挑错有奖

如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD丄PA，垂足为D．

（1）CD为⊙O的切线吗，说明理由；
（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．

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为了解朝阳社区 $20 ~ 60$ 岁居民最喜欢的支付方式，某兴趣小组对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人只能选择其中一项），并将调查数据整理后绘成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题：

（1）求参与问卷调查的总人数．

（2）补全条形统计图．

（3）该社区中 $20 ~ 60$ 岁的居民约8000人，估算这些人中最喜欢微信支付方式的人数．

题型：未知
难度：未知

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已知， $ΔABC$ 中， $∠ B = ∠ C$ ， $P$ 是 $BC$ 边上一点，作 $∠ CPE = ∠ BPF$ ，分别交边 $AC$ ， $AB$ 于点 $E$ ， $F$ ．

（1）若 $∠ CPE = ∠ C$ （如图 $1)$ ，求证： $PE + PF = AB$ ．

（2）若 $∠ CPE \neq ∠ C$ ，过点 $B$ 作 $∠ CBD = ∠ CPE$ ，交 $CA$ （或 $CA$ 的延长线）于点 $D$ ．试猜想：线段 $PE$ ， $PF$ 和 $BD$ 之间的数量关系，并就 $∠ CPE > ∠ C$ 情形（如图 $2)$ 说明理由．

（3）若点 $F$ 与 $A$ 重合（如图 $3)$ ， $∠ C = 27 °$ ，且 $PA = AE$ ．

①求 $∠ CPE$ 的度数；

②设 $PB = a$ ， $PA = b$ ， $AB = c$ ，试证明： $b = \frac{a^{2} - c^{2}}{c}$ ．

题型：未知
难度：未知

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我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．

（1）概念理解：

如图1，在 $ΔABC$ 中， $AC = 6$ ， $BC = 3$ ， $∠ ACB = 30 °$ ，试判断 $ΔABC$ 是否是”等高底”三角形，请说明理由．

（2）问题探究：

如图2， $ΔABC$ 是“等高底”三角形， $BC$ 是”等底”，作 $ΔABC$ 关于 $BC$ 所在直线的对称图形得到△ $A^{'} BC$ ，连接 $AA'$ 交直线 $BC$ 于点 $D$ ．若点 $B$ 是△ $AA' C$ 的重心，求 $\frac{AC}{BC}$ 的值．

（3）应用拓展：

如图3，已知 $l_{1} / / l_{2}$ ， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离为2．“等高底” $ΔABC$ 的“等底” $BC$ 在直线 $l_{1}$ 上，点 $A$ 在直线 $l_{2}$ 上，有一边的长是 $BC$ 的 $\sqrt{2}$ 倍．将 $ΔABC$ 绕点 $C$ 按顺时针方向旋转 $45 °$ 得到△ $A^{'} B^{'} C$ ， $A' C$ 所在直线交 $l_{2}$ 于点 $D$ ．求 $CD$ 的值．

题型：未知
难度：未知

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已知，点 $M$ 为二次函数 $y = - {(x - b)}^{2} + 4 b + 1$ 图象的顶点，直线 $y = mx + 5$ 分别交 $x$ 轴正半轴， $y$ 轴于点 $A$ ， $B$ ．

（1）判断顶点 $M$ 是否在直线 $y = 4 x + 1$ 上，并说明理由．

（2）如图1，若二次函数图象也经过点 $A$ ， $B$ ，且 $mx + 5 > - {(x - b)}^{2} + 4 b + 1$ ，根据图象，写出 $x$ 的取值范围．

（3）如图2，点 $A$ 坐标为 $(5, 0)$ ，点 $M$ 在 $ΔAOB$ 内，若点 $C (\frac{1}{4}$ ， $y_{1})$ ， $D (\frac{3}{4}$ ， $y_{2})$ 都在二次函数图象上，试比较 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小．

题型：未知
难度：未知

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如图1，滑动调节式遮阳伞的立柱 $AC$ 垂直于地面 $AB$ ， $P$ 为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为 $ΔPDE$ ， $F$ 为 $PD$ 的中点， $AC = 2.8 m$ ， $PD = 2 m$ ， $CF = 1 m$ ， $∠ DPE = 20 °$ ，当点 $P$ 位于初始位置 $P_{0}$ 时，点 $D$ 与 $C$ 重合（图 $2)$ ．根据生活经验，当太阳光线与 $PE$ 垂直时，遮阳效果最佳．

（1）上午 $10 : 00$ 时，太阳光线与地面的夹角为 $65 °$ （图 $3)$ ，为使遮阳效果最佳，点 $P$ 需从 $P_{0}$ 上调多少距离？（结果精确到 $0.1 m)$

（2）中午 $12 : 00$ 时，太阳光线与地面垂直（图 $4)$ ，为使遮阳效果最佳，点 $P$ 在（1）的基础上还需上调多少距离？（结果精确到 $0.1 m)$ （参考数据： $\sin 70 ° \approx 0.94$ ， $\cos 70 ° \approx 0.34$ ， $\tan 70 ° \approx 2.75$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73)$

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