请阅读下列材料：若是关于的一元二次方程的两个根，则方程的两个

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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请阅读下列材料：若是关于的一元二次方程的两个根，则方程的两个根和系数有如下关系：．我们把它们称为根与系数关系定理．
如果设二次函数的图象与x轴的两个交点为．利用根与系数关系定理我们又可以得到A、B两个交点间的距离为：

请你参考以上定理和结论，解答下列问题：
设二次函数的图象与x轴的两个交点为，抛物线的顶点为，显然为等腰三角形。
（1）当为等腰直角三角形时，求
（2）当为等边三角形时，求
（3）设抛物线与轴的两个交点为、，顶点为，且，试问如何平移此抛物线，才能使？

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如图，四边形 $ABCD$ 内接于 $⊙ O$ ， $∠ BAD = 90 °$ ，点 $E$ 在 $BC$ 的延长线上，且 $∠ DEC = ∠ BAC$ ．

（1）求证： $DE$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $AC / / DE$ ，当 $AB = 8$ ， $CE = 2$ 时，求 $AC$ 的长．

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【观察】 $1 \times 49 = 49$ ， $2 \times 48 = 96$ ， $3 \times 47 = 141$ ， $\dots$ ， $23 \times 27 = 621$ ， $24 \times 26 = 624$ ， $25 \times 25 = 625$ ， $26 \times 24 = 624$ ， $27 \times 23 = 621$ ， $\dots$ ， $47 \times 3 = 141$ ， $48 \times 2 = 96$ ， $49 \times 1 = 49$ ．

【发现】根据你的阅读回答问题：

（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为　　；

（2）设参与上述运算的第一个因数为 $a$ ，第二个因数为 $b$ ，用等式表示 $a$ 与 $b$ 的数量关系是　　．

【类比】观察下列两数的积： $1 \times 59$ ， $2 \times 58$ ， $3 \times 57$ ， $4 \times 56$ ， $\dots$ ， $m \times n$ ， $\dots$ ， $56 \times 4$ ， $57 \times 3$ ， $58 \times 2$ ， $59 \times 1$ ．

猜想 $mn$ 的最大值为　　，并用你学过的知识加以证明．

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甲、乙两名学生练习打字，甲打135个字所用时间与乙打180个字所用时间相同．已知甲平均每分钟比乙少打20个字，求甲平均每分钟打字的个数．

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某校为了解学生最喜欢的球类运动情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生只写一类最喜欢的球类运动．以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．

类别	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$	$F$
类型	足球	羽毛球	乒乓球	篮球	排球	其他
人数		10	4		6	2

根据以上信息，解答下列问题：

（1）被调查的学生中，最喜欢乒乓球的有　　人，最喜欢篮球的学生数占被调查总人数的百分比为　　 $%$ ；

（2）被调查学生的总数为　　人，其中，最喜欢篮球的有　　人，最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比为　　 $%$ ；

（3）该校共有450名学生，根据调查结果，估计该校最喜欢排球的学生数．

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如图， $▱ ABCD$ 的对角线 $AC$ ， $BD$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 、 $F$ 在 $AC$ 上，且 $AF = CE$ ．

求证： $BE = DF$ ．

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