(满分13分)已知函数.(Ⅰ)若在点处的切线的斜率是,求实数的值;(Ⅱ)若在点处取得极值,求的单调区间.
(本小题满分14分)已知线性变换是按逆时针方向旋转的旋转变换,其对应的矩阵为,线性变换:对应的矩阵为.(Ⅰ)写出矩阵、;(Ⅱ)若直线在矩阵对应的变换作用下得到方程为的直线,求直线的方程.
(本小题满分14分)已知函数,(且为常数).(Ⅰ)若曲线在处的切线过点,求实数的值;(Ⅱ)若存在实数,,使得成立,求实数的取值范围;(Ⅲ)判断函数在上的零点个数,并说明理由.
(本小题满分13分)已知动圆过定点且与轴截得的弦的长为.(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹的方程;(Ⅱ)已知点,动直线和坐标轴不垂直,且与轨迹相交于两点,试问:在轴上是否存在一定点,使直线过点,且使得直线,,的斜率依次成等差数列?若存在,请求出定点的坐标;否则,请说明理由.
(本小题满分13分)如图1,直角梯形中,,,. 交于点,点,分别在线段,上,且.将图1中的沿翻折,使平面⊥平面(如图2所示),连结、,、.(Ⅰ)求证:平面平面;(Ⅱ)当三棱锥的体积最大时,求直线与平面所成角的正弦值.
(本小题满分13分)已知函数,方程在上的解按从小到大的顺序排成数列.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设,数列的前项和为,求的表达式.