已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交与BE的延长线于点F，且AF=DC，连接CF．

（1）求证：D是BC的中点；
（2）当AB与AC有何数量关系时，四边形ADCF为矩形，请说明理由．

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已知反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象经过点 $B (3, 2)$ ，点 $B$ 与点 $C$ 关于原点 $O$ 对称， $BA ⊥ x$ 轴于点 $A$ ， $CD ⊥ x$ 轴于点 $D$ ．

（1）求这个反比例函数的解析式；

（2）求 $ΔACD$ 的面积．

题型：未知
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如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 经过点 $A (- 3, 0)$ 、 $B (9, 0)$ 和 $C (0, 4)$ ， $CD$ 垂直于 $y$ 轴，交抛物线于点 $D$ ， $DE$ 垂直于 $x$ 轴，垂足为 $E$ ，直线 $l$ 是该抛物线的对称轴，点 $F$ 是抛物线的顶点．

（1）求出该二次函数的表达式及点 $D$ 的坐标；

（2）若 $Rt Δ AOC$ 沿 $x$ 轴向右平移，使其直角边 $OC$ 与对称轴 $l$ 重合，再沿对称轴 $l$ 向上平移到点 $C$ 与点 $F$ 重合，得到 $Rt$ △ $A_{1} O_{1} F$ ，求此时 $Rt$ △ $A_{1} O_{1} F$ 与矩形 $OCDE$ 重叠部分图形的面积；

（3）若 $Rt Δ AOC$ 沿 $x$ 轴向右平移 $t$ 个单位长度 $(0 < t ⩽ 6)$ 得到 $Rt$ △ $A_{2} O_{2} C_{2}$ ， $Rt$ △ $A_{2} O_{2} C_{2}$ 与 $Rt Δ OED$ 重叠部分图形的面积记为 $S$ ，求 $S$ 与 $t$ 之间的函数表达式，并写出自变量 $t$ 的取值范围．

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如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

（1）概念理解：如图2，在四边形 $ABCD$ 中， $AB = AD$ ， $CB = CD$ ，问四边形 $ABCD$ 是垂美四边形吗？请说明理由；

（2）性质探究：如图1，四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 、 $BD$ 交于点 $O$ ， $AC ⊥ BD$ ．试证明： $A B^{2} + C D^{2} = A D^{2} + B C^{2}$ ；

（3）解决问题：如图3，分别以 $Rt Δ ACB$ 的直角边 $AC$ 和斜边 $AB$ 为边向外作正方形 $ACFG$ 和正方形 $ABDE$ ，连接 $CE$ 、 $BG$ 、 $GE$ ．已知 $AC = 4$ ， $AB = 5$ ，求 $GE$ 的长．

题型：未知
难度：未知

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如图， $AB$ 、 $AC$ 分别是 $⊙ O$ 的直径和弦， $OD ⊥ AC$ 于点 $D$ ．过点 $A$ 作 $⊙ O$ 的切线与 $OD$ 的延长线交于点 $P$ ， $PC$ 、 $AB$ 的延长线交于点 $F$ ．

（1）求证： $PC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $∠ ABC = 60 °$ ， $AB = 10$ ，求线段 $CF$ 的长．

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天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元 $/$ 件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元 $/$ 件，市场调查发现，该商品每天的销售量 $y$ （件 $)$ 与销售价 $x$ （元 $/$ 件）之间的函数关系如图所示．

（1）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并写出自变量 $x$ 的取值范围；

（2）求每天的销售利润 $W$ （元 $)$ 与销售价 $x$ （元 $/$ 件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

题型：未知
难度：未知

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