p：实数x满足，其中，q：实数x满足（1）若，且为真，求实数

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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p：实数x满足，其中，q：实数x满足
（1）若，且为真，求实数x的取值范围；
（2）是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

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如图，平面 $A B E F ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B E F$ 与 $A B C D$ 都是直角梯形， $∠ B A D = ∠ F A B = 90^{°}, B C = \frac{1}{2} A D, B E = \frac{1}{2} A F, G, H$ 分别为 $F A, F D$ 中点.

（Ⅰ）证明：四边形 $B C H G$ 是平行四边形；
（Ⅱ） $C, D, F, E$ 四点是否共面？为什么？
（Ⅲ）设 $A B = B E$ ，证明：平面 $A D E ⊥$ 平面 $C D E$ ；

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设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 $0.5$ ，购买乙种商品的概率为 $0.6$ ，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。

（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；

（Ⅱ）求进入商场的3位顾客中至少有2位顾客既未购买甲种也未购买乙种商品的概率。

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求函数 $y = 7 - 4 \sin x \cos x + 4 \cos^{2} x - 4 \cos^{4} x$ 的最大值与最小值.

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设 $a$ 为实数，函数 $f (x) = 2 x^{2} + (x - a) |x - a|$ .

(1)若 $f (0) \leq 1$ ，求 $a$ 的取值范围；

(2)求 $f (x)$ 的最小值；

(3)设函数 $h (x) = f (x), x \in (a, + \infty)$ ，直接写出(不需给出演算步骤)不等式 $h (x) \geq 1$ 的解集．

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按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为 $a$ 元，如果他卖出该产品的单价为 $m$ 元，则他的满意度为 $\frac{m}{m + a}$ ；如果他买进该产品的单价为 $n$ 元，则他的满意度为 $\frac{n}{n + a}$ .如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为 $h_{1}$ 和 $h_{2}$ ，则他对这两种交易的综合满意度为 $\sqrt{h_{1} h_{2}}$ .
现假设甲生产 $A$ 、 $B$ 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产 $A$ 、 $B$ 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品 $A$ 、 $B$ 的单价分别为 $m_{A}$ 元和 $m_{B}$ 元，甲买进 $A$ 与卖出B的综合满意度为 $h_{甲}$ ，乙卖出 $A$ 与买进 $B$ 的综合满意度为 $h_{乙}$

(1)求 $h_{甲}$ 和 $h_{乙}$ 关于 $m_{A}$ 、 $m_{B}$ 的表达式；当 $m_{A} = \frac{3}{5} m_{B}$ 时，求证： $h_{乙}$ = $h_{甲}$ ；
(2)设 $m_{A} = \frac{3}{5} m_{B}$ ，当 $m_{A}$ 、 $m_{B_{}}$ 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为 $h_{0}$ ，试问能否适当选取 $m_{A}$ 、 $m_{B}$ 的值，使得 $h_{甲} = h_{乙}$ 和 $h_{乙} \geq h_{0}$ 同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。

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