已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N₊）
（1）求a₂，a₃，a₄，a₅；
（2）归纳猜想出通项公式a_n，并且用数学归纳法证明；
（3）求证a₁₀₀能被15整除．