（本小题共13分）已知椭圆的离心率为，且两个焦点和短轴的一个

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度困难
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（本小题共13分）已知椭圆的离心率为，且两个焦点和短轴的一个端点是一个等腰三角形的顶点．斜率为的直线过椭圆的上焦点且与椭圆相交于，两点，线段的垂直平分线与轴相交于点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求的取值范围；
（Ⅲ）试用表示△的面积，并求面积的最大值．

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如图①，在边长为1的等边三角形 $A B C$ 中， $D, E$ 分别是 $A B, A C$ 边上的点， $A D = A E$ ， $F$ 是 $B C$ 的中点， $A F$ 与 $D E$ 交于点 $G$ ，将 $△ A B F$ 沿 $A F$ 折起，得到如图②所示的三棱锥 $A - B C F$ ，其中 $B C = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1) 证明： $D E / /$ 平面 $B C F$ ；
(2) 证明： $C F ⊥$ 平面 $A B F$ ；
(3) 当 $A D = \frac{2}{3}$ 时，求三棱锥 $F - D E G$ 的体积 $V_{F - D E G}$ ．

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难度：未知

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从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：

分组（重量）	$[80, 85)$	$[85, 90)$	$[90, 95)$	$[95, 100)$
频数（个）	5	10	20	15

(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在 $[90, 95)$ 的频率；
(2) 用分层抽样的方法从重量在 $[80, 85)$ 和 $[95, 100)$ 的苹果中共抽取4个，其中重量在 $[80, 85)$ 的有几个？
(3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在 $[80, 85)$ 和 $[95, 100)$ 中各有1个的概率．

题型：未知
难度：未知

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已知函数 $f (x) = \sqrt{2} \cos (x - \frac{π}{12}), x \in R$ ．
(1) 求 $f (\frac{π}{3})$ 的值；
(2) 若 $\cos θ = \frac{3}{5}, θ \in (\frac{3 π}{2}, 2 π)$ ，求 $f (θ - \frac{π}{6})$ ．

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设数列 $\{a_{n}\}$ ： $1, - 2, - 2, 3, 3, 3, - 4, - 4, - 4, - 4, \dots, \overset{k 个}{\overset{⏞}{{(- 1)}^{k - 1} k, \dots, {(- 1)}^{k - 1} k}}, \dots$ ，即当 $\frac{(k - 1) k}{2} < n \leq \frac{k (k + 1)}{2} (k \in N^{*})$ 时，记 $a_{n} = {(- 1)}^{k - 1} k$ .记 $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} (n \in N^{*})$ . 对于 $l \in N^{*}$ ，定义集合 $p_{i} = \{n S_{n} 是 a_{n} 的整数倍, n \in N^{*}, 1 \leq n \leq l\}$ .
（1）求集合 $P_{11}$ 中元素的个数；
（2）求集合 $P_{2000}$ 中元素的个数.

题型：未知
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如图，在直三棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C = 2$ ， $A A_{1} = 4$ ，点 $D$ 是 $B C$ 的中点.

（1）求异面直线 $A_{1} B$ 与 $C_{1} D$ 所成角的余弦值；
（2）求平面 $A D C_{1}$ 与平面 $A B A_{1}$ 所成二面角的正弦值.

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