有公共焦点，且离心率
的双曲线方程．相关试题
，试用
表示
的值．已知复数
均为实数，
为虚数单位，且对于任意复数
。
（1）试求
的值，并分别写出
和
用
、
表示的关系式；
（2）将(、)作为点
的坐标，(、)作为点
的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点变到这一平面上的点，
当点在直线
上移动时，试求点经该变换后得到的点的轨迹方程；
（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由。
请先阅读：
在等式
的两边求导，得：
，由求导法则，得
，化简得等式：
.
（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式
 （
，正整数
），证明：
（2）对于正整数
，求证：
（i）
   (ii)
； （iii）
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