某城市对教师试卷讲评课中学生参与的深度与广度进行评价,其评价项目为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项.评价组随机抽取了若干名初中学生的参与情况,绘制了如下两幅不完整的统计图(图1,图2),请根据图中所给信息解答下列问题:(1)在这次评价中,一共抽查了 名学生;(2)请将条形图补充完整;(3)在扇形统计图中,“主动质疑”所对应的扇形圆心角度数为 ;(4)如果全市有16万名初中学生,那么在试卷评讲课中,“独立思考”的学生约有多少万人?
第一盒中有1个白球、1个黑球,第二盒中有1个白球,2个黑球.这些球除颜色外无其他差别,分别从每个盒中随机取出1个球,用画树状图或列表的方法,求取出的2个球都是白球的概率.
先化简,再求值: ( x + 2 ) ( x - 2 ) - x ( x - 1 ) ,其中 x = 1 2 .
在平面直角坐标系中,抛物线 y = 2 ( x - m ) 2 + 2 m ( m 为常数)的顶点为 A .
(1)当 m = 1 2 时,点 A 的坐标是 ,抛物线与 y 轴交点的坐标是 ;
(2)若点 A 在第一象限,且 OA = 5 ,求此抛物线所对应的二次函数的表达式,并写出函数值 y 随 x 的增大而减小时 x 的取值范围;
(3)当 x ⩽ 2 m 时,若函数 y = 2 ( x - m ) 2 + 2 m 的最小值为3,求 m 的值;
(4)分别过点 P ( 4 , 2 ) 、 Q ( 4 , 2 - 2 m ) 作 y 轴的垂线,交抛物线的对称轴于点 M 、 N .当抛物线 y = 2 ( x - m ) 2 + 2 m 与四边形 PQNM 的边有两个交点时,将这两个交点分别记为点 B 、点 C ,且点 B 的纵坐标大于点 C 的纵坐标.若点 B 到 y 轴的距离与点 C 到 x 轴的距离相等,直接写出 m 的值.
如图,在 ΔABC 中, ∠ C = 90 ° , AB = 5 , BC = 3 ,点 D 为边 AC 的中点.动点 P 从点 A 出发,沿折线 AB - BC 以每秒1个单位长度的速度向点 C 运动,当点 P 不与点 A 、 C 重合时,连结 PD .作点 A 关于直线 PD 的对称点 A ' ,连结 A ' D 、 A ' A .设点 P 的运动时间为 t 秒.
(1)线段 AD 的长为 ;
(2)用含 t 的代数式表示线段 BP 的长;
(3)当点 A ' 在 ΔABC 内部时,求 t 的取值范围;
(4)当 ∠ AA ' D 与 ∠ B 相等时,直接写出 t 的值.
实践与探究
操作一:如图①,已知正方形纸片 ABCD ,将正方形纸片沿过点 A 的直线折叠,使点 B 落在正方形 ABCD 的内部,点 B 的对应点为点 M ,折痕为 AE ,再将纸片沿过点 A 的直线折叠,使 AD 与 AM 重合,折痕为 AF ,则 ∠ EAF = 度.
操作二:如图②,将正方形纸片沿 EF 继续折叠,点 C 的对应点为点 N .我们发现,当点 E 的位置不同时,点 N 的位置也不同.当点 E 在 BC 边的某一位置时,点 N 恰好落在折痕 AE 上,则 ∠ AEF = 度.
在图②中,运用以上操作所得结论,解答下列问题:
(1)设 AM 与 NF 的交点为点 P .求证: ΔANP ≅ ΔFNE ;
(2)若 AB = 3 ,则线段 AP 的长为 .