在阳光体育活动时间，小亮、小莹、小芳和大刚到学校乒乓球室打乒_优题课试题网

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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在阳光体育活动时间，小亮、小莹、小芳和大刚到学校乒乓球室打乒乓球，当时只有一副空球桌，他们只能选两人打第一场．
（1）如果确定小亮打第一场，再从其余三人中随机选取一人打第一场，求恰好选中大刚的概率；
（2）如果确定小亮做裁判，用“手心、手背”的方法决定其余三人哪两人打第一场．游戏规则是：三人同时伸“手心、手背”中的一种手势，如果恰好有两人伸出的手势相同，那么这两人上场，否则重新开始，这三人伸出“手心”或“手背”都是随机的，请用画树状图的方法求小莹和小芳打第一场的概率．

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（1）求 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

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已知函数 $f (x) = \frac{1}{x} - x + a \ln x$ ．

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（2）若 $f (x)$ 存在两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ，证明： $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < a - 2$ ．

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某工厂的某种产品成箱包装，每箱 $200$ 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取 $20$ 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为 $p (0 < p < 1)$ ，且各件产品是否为不合格品相互独立．

（1）记 $20$ 件产品中恰有 $2$ 件不合格品的概率为 $f (p)$ ,求 $f (p)$ 的最大值点 $p_{0}$ ；

（2）现对一箱产品检验了 $20$ 件，结果恰有 $2$ 件不合格品，以（1）中确定的 $p_{0}$ 作为 $p$ 的值．已知每件产品的检验费用为 $2$ 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 $25$ 元的赔偿费用．

（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 $X$ ，求 $EX$ ;

（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

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难度：未知

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