如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m。

（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？

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如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A C = B C = 2$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $A P = B P = A B$ ， $P C ⊥ A C$ .

（Ⅰ）求证： $P C ⊥ A B$ ；
（Ⅱ）求二面角 $B - A P - C$ 的大小.

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已知函数 $f (x) = \sin^{2} ω x + \sqrt{3} \sin ω x \sin (ω x + \frac{π}{2})$ （ $ω > 0$ ）的最小正周期为 $π$ 。
（Ⅰ）求 $ω$ 的值；
（Ⅱ）求函数 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{2 π}{3}]$ 上的取值范围。

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)如图，三棱锥P—ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝AC＝2，AB＝BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB。
（1）求证：AB⊥平面PCB；
（2）求二面角C—PA—B的大小的余弦值。

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设函数 $f (x) = \frac{\sin x}{2 + \cos x}$ .
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的单调区间；
（Ⅱ）如果对任何 $x \geq 0$ ，都有 $f (x) \leq a x$ ，求 $a$ 的取值范围。

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设数列 $(a_{n})$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ 。已知 $a_{1} = a$ ， $a_{n + 1} = S_{n} + 3^{n}$ ， $n \in N^{*}$ .
（Ⅰ）设 $b_{n} = S_{n} - 3^{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）若 $a_{n + 1} \geq a_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，求 $a$ 的取值范围。

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